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重庆大学工程力学,重庆大学,工程力学9,重庆大学工程力学专业,重庆交通大学工程力学

重庆大学工程力学系教学团队 本帖最后由 lantian 于 2011-7-22 15:18 编辑 一、教师组成 姓名性别出生年月职称/学位学科专业在教学中承担的工作陈景秋男1944.09教授/博士流体力...

§9-1 平面弯曲的概念 弯曲变形的受力特点 外力的作用线与杆件的轴 线垂直; 弯曲变形的变形特点 轴线由直线变为曲线; 梁:

以弯曲变形为主的杆件。 平面弯曲 F q(x) M 梁轴线 FA FB 纵向对称面 条件:

结果:

所有的载荷作用在纵向对称面内; 梁的轴线 是纵向对称面内的一条平面曲线。 平面弯曲的条件 ?具有纵向对称面; ?外力都作用在纵向对称面内; ?梁的轴线变成对称面内的一条平面曲线。 常见构件的纵向对称面 §9-2 梁的计算简图 9.2.1梁的基本形式 1、梁本身的简化 以轴线代替; 2、载荷的简化 ?集中载荷 ?分布载荷 ?集中力偶 3、支座简化 固定铰支座 活动铰支座 固定端 4、静定梁的基本形式 简支梁 外伸梁 悬臂梁 §9-3 剪力和弯矩 一、弯曲变形时横截面的内力 FAy FBy M FS FN FAy ?F ? 0 ?F ? 0 ?M ? 0 x y c FN ? 0 FS ? FAy ? F1 M ? FAy x ? F1 ( x ? a) 弯曲变形时横截面的内力 M FS FN FBy FS //A 剪力: M 与横截面相切的分布内力系的合力; ? M ? 轴线 弯矩:

与横截面垂直的分布内力系的合力偶矩。 二、内力的大小 1、剪力大小= 截面一侧所有外力的代数和。

M ?F y ?0 FS ? FAy ? F1 FAy M FS FS ?F FBy y ?0 FS ? F2 ? F3 ? FAy 内力的大小 2、弯矩大小= 截面一侧所有外力对 求内力的截面形心之矩的 代数和。

M ?M c ?0 FAy M FS FS M ? FAy x ? F1 ( x ? a) ?M FBy c ?0 M ? M C ( FBy ) ? M C (F1 ) ? M C (F2 ) 三、内力的符号 1、剪力的符号约定 剪力对所取的一段梁上任意一点的矩为顺时针转向时,剪力 为正; + 实用的方向约定 _ 左上 右下 的外力产生正剪力; M M FN FN FS FBy FAy FS 2、弯矩的符号约定 使梁呈下凸时弯矩为正; + _ 弯矩符号的实用约定 所有向上的外力 产生正弯矩; 左顺 右逆的 外力偶产生正弯矩; M FS M FS FAy FBy 1. 确定支反力 ?F ? 0 F ?M ? 0 y A Ay ? FBy ? 2F FAy 2. 用截面法求内力 FS ME FAy FBy FBy ? 3a ? Fa ? 2F ? a F FBy ? 3 5F FAy ? 3 F FS ? FAy ? 2F ? ? 3 3a a 3Fa M E ? FAy ? ? 2 F ? ? 2 2 2 练习:计算下列各图中特殊截面上的内力 P a q a P a a a M=qa2 q a a P=2qa 练习:计算下列各图中特殊截面上的内力 q a 2a P=qa a a M=qa2 a §9-4 q x q x 剪力图和弯矩图 一、内力方程:

任意截面处的内力表示为截面位置的函数; 例1、悬臂梁上作用均布载荷 写内力方程,并作内力图 l M ?x ? FS ?x ?=qx M ?x ?=qx 2 / 2 ?0 ? x ? l ? FS ?x ? ?0 ? x ? l ? 二、内力图 q FS ?x ?=qx M ?x ?=qx 2 / 2 a 建立坐标系 l ?0 ? x ? l ? ?0 ? x ? l ? b 确定控制截面 FS ql x c 作图 危险截面位置 固定端截面处; FS max=ql M max=ql 2 / 2 M ql 2 / 2 x 仔细观察内力图的特点 1885年,俄国人别斯帕罗夫开 始使用弯矩图; 被认为是历史上第一个使 用弯矩图的人 例2、简支梁受集中载荷作用 a 写内力方程,并画内力图 (1).确定约束力 F x2C l b FAY x1 FBY ? M =0 A FBy=Fa/l FAy=Fb/l (2).写内力方程 FAY x1 ? M =0 B FS ?x1 ?=FAy ?0 ? x1 ? a ? M ?x1 ?=FAy ? x1 FS ?x2 ?= ? FBy FBY ?0 ? x1 ? a ? ?a ? x2 ? l ? ? AC段 l-x2 M ?x2 ?=FBy ?l ? x2 ? ?a ? x2 ? l ? ? CB段 (3). 作内力图 F C AC FS ?x1 ?=Fb / l ?0 ? x1 ? a ? M ?x1 ?=Fbx1 / l ?0 ? x1 ? a ? FS ?x2 ?=? Fa / l ?a ? x2 ? l ? M ?x2 ?=Fa?l ? x2 ? / l ?a ? x2 ? l ? a 建立坐标系 CB FS Fb / l Fa / l M x b 确定控制截面 Fab / l x c 作图 危险截面位置 集中力作用点的左或右侧截面 仔细观察内力图的特点 控制截面:

—外力规律发生变化的截面 集中力作用点、 外力偶作用面、 终点等。 分布载荷的起点、 写内力方程时注意事项 1、必须分段列写梁的剪力方程和弯矩方程; 2、各段的分界点为各段梁的控制截面。

3、x截面处必须是任意截面; 4、x截面处必须是远离外力的作用点; 5、写出x截面处的内力就是内力方程, 同时确定定义域。 总结1 1、简支梁的两端 悬臂梁的自由端: 剪力的大小 =集中力的大小; 剪力的方向:

左上右下 弯矩大小 如果没有外力偶矩时,弯矩恒等于零; 有外力偶矩时, 弯矩外力偶矩的大小 弯矩方向:

满足左顺右逆。 FS M Fb / l FS M l ql x ql 2 / 2 x F C x x Fa / l Fab / l 总结2 2、有均布载荷的一段梁内 剪力图 斜直线; 且均布载荷向上 剪力图上升; M FS l ql x ql 2 / 2 均布载荷向下 剪力图下降; 弯矩图 曲线, x 且均布载荷向上 弯矩图下凸; 均布载荷向下 下雨天撑伞 弯矩图上凸; 总结3 3、梁上没有均布载荷时: 剪力的图 弯矩图 FS Fb / l F C x 水平; 斜直线; M Fa / l Fab / l 且剪力大于零时, 弯矩图上升; 剪力小于零时, 弯矩图下降; x 总结4 4、集中力的作用点处 FS Fb / l F C Fa / l 剪力图 突变; 突变量 =集中力的大小; 突变的方向 弯矩图 顺集中力的方向 M x Fab / l x 发生转折。 例3、简支梁受均布载荷作用 写内力方程,并作内力图。 (1).确定约束反力 FAY x C l FBY ? M =0 A FBy= ql/2 FAy= ql/2 (2).写内力方程 x ? F =0 y FS ?x ?=FAy ? qx ?0 ? x ? l ? FAY x M ?x ?=FAy ? x ? qx 2 ?0 ? x ? l ? (3)、作内力图 FS ?x ?=ql / 2 ? qx ?0 ? x ? l ? M ?x ?=qlx / 2 ? qx 2 / 2 a 建立坐标系 FS ql / 2 ?0 ? x ? l ? a/2 x b 确定控制截面 c 作图 危险截面位置 跨度中点。 x ql / 2 M ql 2 / 8 仔细观察内力图的特点 例4、简支梁受集中力偶作用 写内力方程,作内力图 (1).确定约束反力 a M b ? M =0 A FBy= M / l FAy=M / l FAY x1 l x2 FBY ? M =0 B (2).写出内力方程 FS ?x1 ?=FAy ?0 ? x1 ? a ? FAY x1 M ?x1 ?=FAy ? x1 FS ?x2 ?= ? F By ?0 ? x1 ? a ? ?0 ? x2 ? b? x2 FBY M ?x2 ?= ? FBy ? x2 ?0 ? x2 ? b? (3). 画内力图 a M FS ?x1 ?= M / l b ?0 ? x1 ? a? M ?x1 ?= Mx1 / l FS ?x2 ?= M / l M /l x ?0 ? x1 ? a? ?0 ? x2 ? b? FS M /l M ?x2 ?= ? Mx2 / l a 建立坐标系 ?0 ? x2 ? b? M Ma / l x b 确定控制截面 c 作图 仔细观察内力图的特点 Mb / l 总结5、6 5、剪力连续变化 过零点:

弯矩取得极值; ql / 8 2 FS M ql / 2 ql / 2 6、集中力偶处 剪力图 弯矩图 不变; 突变; FS M x a M /l 突变量 =外力偶矩的大小; 突变的方向 从左向右画,顺时针的外力偶引起弯 矩图的上突; M b M /l x Ma / l x Mb / l 例5:悬臂梁受力如图所示。写梁的剪力方程和弯矩方程, 作出梁的剪力图和弯矩图 1、列出梁的剪力方程和弯矩方程 m=Pa A x a P B C a AB段: Fs ( x) ? 0 M ( x) ? m ? Pa x (0 ? x ? a ) BC段: Fs ( x) ? ?P M ( x) ? m ? P( x ? a) ? 2 Pa ? Px ( a ? x ? 2a ) Fs ( x) ? 0 m=Pa P B C M ( x) ? m ? Pa (0 ? x ? a ) A Fs ( x) ? ?P M ( x) ? 2Pa ? Px ( a ? x ? 2a ) FS x a 建立坐标系 b 确定控制截面 c 作图 x -P M Pa 仔细观察内力图的特点 总结7 7、剪力=0的一段梁内, 弯矩保持为常量; m=Pa A FS P B C x M Pa -P x §9-6 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 dx M(x) Fs(x) M(x)+dM(x) Fs(x)+ dFs(x) q(x) 载荷集度、剪力和弯矩关系: d 2 M ( x) dFs ( x) ? ? q( x) 2 dx dx 载荷集度、剪力和弯矩关系: dFs ( x) ? q ( x) dx dM ( x) ? Fs ( x) dx d 2 M ( x) dFs ( x) ? ? q( x) 2 dx dx 1、q(x)=0: Fs=常数, 剪力图为直线; M(x) 为 x 的一次函数, 弯矩图为斜直线。 Fs(x) 为 x 的一次函数,剪力图为斜直线; 2、q=常数, M(x) 为 x 的二次函数, 弯矩图为抛物线。 分布载荷向上(q >

0), 抛物线呈凹弧; 下凸。 分布载荷向上(q <

0), 抛物线呈凸弧;

上凸。 3、 剪力Fs=0处, 左右两侧剪力变号 弯矩取极值。 梁上作用集中力时 Fs ( x) ? P ? ( Fs ( x) ? ?Fs ( x)) ? 0 ?Fs ( x) ? P dx M(x) Fs(x) M(x)+ ΔM(x) Fs(x)+Δ Fs(x) P 集中力作用处, 剪力图突变, 突变量等于集中力的大小。 M ( x) ? Fs ( x) ? dx ? P? ? (M ( x) ? ?M ( x)) ? 0 ?M ( x) ? Fs ( x) ? dx ? P? 弯矩图发生转折。 梁上作用集中力偶时 Fs ( x) ? ( Fs ( x) ? ?Fs ( x)) ? 0 ?Fs ( x) ? 0 dx M(x) Fs(x) M(x)+ ΔM(x) Fs(x)+Δ Fs(x) M 集中力偶作用处, 剪力图不变。 M ( x) ? Fs ( x) ? dx ? M ? (M ( x) ? ?M ( x)) ? 0 ?M ( x) ? M ? Fs ( x) ? dx 弯矩图发生突变, 突变量等于集中力偶的大小。 内力Fs 、M 的变化规律 载荷 q ( x) ? 0 q?C ?0 q?C ?0 F Mo 水平直线 Fs ?图 + or 上斜直线 下斜直线 斜直线 F (剪力图 无突变) Mo M ?图 or 下凸 抛物线 上凸 抛物线 F处有尖角 微分关系的利用 校核已作出的内力图是否正确; 快速绘制梁的内力图;不必再建立内力方程; 利用微分关系快速绘制内力图的步骤: 1.求支座反力; 2.利用截面法求控制截面的内力; 3.分段确定内力图的形状; 4、根据微分关系绘剪力图和弯矩图; 5.确定剪力的危险面和弯矩的危险面。 例1:利用微分关系快速作梁的内力图 A FAY 1.5m 1kN.m 2kN 1.5m B FBY 根据力矩平衡方程 1.5m ? M =0, ? M =0 A B (1).计算约束反力 FAy=0.89 kN FBy=1.11 kN A 0.89 kN= FAY 1.5m 1kN.m C D E F B (3).建立坐标系 1.5m 2kN 1.5m FBY=1.11 kN FS (kN) O 0.89 1.11 (4).确定控制截面 x (5)画图 0.335 M (kN.m) O 1.335 x 1.67 例2:利用微分关系快速作梁的内力图 q 1.计算约束反力 FBy a qa FAy 4a ? M =0, ? M =0 A B 9 3 FAy= qa , FBy= qa 4 4 2.确定控制面 A、B两个截面、约束力FBy右侧的截面、以及集中力 qa左侧的截面。 q 9 3 FAy= qa , FBy= qa 4 4 FAy FS O 4a FBy a qa 3.建立坐标系 9 qa 4 ( +) 4.确定控制面 ( -) x 5.画图 确定剪力等于零的 截面位置。 9a / 4 qa qa 7qa / 4 M 81qa 2 / 32 ( +) qa 2 x O 例3:利用微分关系快速作梁的内力图 F=qa q C a FS O (1)求约束反力 FB ? 1 qa 2 A 3 qa 2 2a E F B a/2 B ? M A=0 FA ? x 5 Fy ? 0 FA= qa 2 (2)建立坐标系 (3)确定控制截面 (4)利用微分关系作图 -qa M 1 2 qa 8 1 ? qa 2 x O ? qa2 例4:利用微分关系作梁的内力图。 F=3KN q=2KN/m M 0 ? 6KN.m C 1m FAy A D 4m 1m B FBy 1、求支座反力 ?M A ?0 ?0 FBy ? 3.8KN FAy ? 7.2KN ?M B F=3KN q=2KN/m M 0 ? 6KN .m FBy ? 3.8KN C 1m FAy A 4m D 1m B FBy FAy ? 7.2KN 2.1m FS 4.2KN x -3.8KN (2)建立坐标系 (3)确定控制截面 (4)利用微分关系作图 -3KN M 1.41KN .m 3.8KN.m x -3KN.m -2.2KN.m 练习:利用微分关系,快速作梁的内力图 P=qa 1 a a a M=Pa P=qa 1KN/m 2 10KN/m 5KN 2m 4m 2m q 3 a 2a M=qa2 4 a a q 2a P 5 M=Pa a a a q P=qa q 6 a a a 10KN 7 1m 1m 2m q=2KN/m 2m 8KN/m 8 2m 1m 5KN

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