【www.zhangdahai.com--领导述职报告】
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．1＋i(1－i)2－1－i(1＋i)2＝( ) A．i B．－i C．1 D．－1
2．如图，A是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，它是一条弦，它的长度小于或等于半径长度的概率为( )
A．23 B．13 C．16 D．14
第2题图
3．设 表示不同的直线， 表示不同的平面，给出下列四个命题：
①若 ∥ ，且 则 ； ②若 ∥ ，且 ∥ ．则 ∥ ；
③若 ，则 ∥m∥n；
④若 且n∥ ，则 ∥m．
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
4．各项不为0的等差数列{an}满足2a3－a27＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列且b7＝a7，则b6b8等于( )
A．4 B．8 C．16 D．32
5．已知函数 的图象的一部分如下图所示．则函数 的表达式为( )
A． B． C． D．
6．设F1，F2是双曲线x2－y224＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3PF1＝4PF2，则△PF1F2的面积等于( )
A．26 B．18 C．24 D．36
7．已知点O为△ABC的外心，且 ， ，则 ＝( )
A．6 B．8 C．2 D．4
8．已知点 R)，点 是圆 上的动点，点 是圆 上的动点，则 的最大值是( )
A． B． C． D．
第二部分(非选择题 共110分)
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 把答案填在答题卡上．
9．对任意非零实数 、 ，若 运算原理如框图所示，则 值是＿＿＿＿．
第9题图 第10题图
10．如图，在多面体 中，已知平面 是边长为6的正方形， ， ，且 与平面 的距离为4，则该多面体的体积为 ．
11．对任意实数 ，过函数 图象上的点 的切线恒过一定点 ，则点 的坐标为＿＿＿＿．
12．已知函数 ，若方程 有三个互不相等的根 ，且则 的取值范围为＿＿＿＿．
13．已知函数 的最小值是0，则非零实数 的值是＿＿＿＿．
14．已知函数 满足对于任意的 恒有 成立，当 时， ，则集合 中最小的元素为＿＿＿＿．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．把答案答在答题卡上．
15．(本题满分13分)如图，平面 平面 ， 是等腰直角三角形， ，四边形 是直角梯形， ， 分别为 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)能否在平面 上找一点 ，使得 平面 ？若能，请指出点 的位置，并加以证明；若不能，请说明理由．
16．(本小题满分13分)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cosA＝13．
(1) 求2sin2π3＋B＋C2＋sin4π3cosπ2＋A的值；
(2) 若a＝3，求三角形面积的最大值．
17．(本题满分13分)文科班某同学参加省学业水平测试， 物理、化学、生物获得等级 和获得等 级不是 的机会相等，物理、化学、生物获得等级 的事件分别记为 、 、 ，物理、化学、生物获得等级不是 的事件分别记为 、 、 ．
(1)试列举该同学这次水平测试中物理、化学、生物成绩是否为 的所有可能结果(如三科成绩均为 记为 )；
(2)求该同学参加这次水平测试获得两个 的概率；
(3)试设计一个关于该同学参加这次水平测试物理、化学、生物成绩情况的事件，使该事件的概率大于 ，并说明理由．
18．(本题满分13分)已知椭圆 ： 过点 ，上、下焦点分别为 、 ，向量 ．直线 与椭圆交于 两点，线段 中点为 ．
(1)求椭圆 和直线 的方程；
(2)记椭圆在直线 下方的部分与线段 所围成的平面区域(含边界)为 ，若曲线 与区域 有公共点，试求 的最小值．
19．(本题满分14分)正项数列 的前 项和 满足： ， 常数
(1)求证： 是一个定值；
(2)若数列 是一个周期数列，求该数列的周期；
(3)若数列 是一个有理数等差数列，求 ．
20．(本题满分14分)记函数 在区间D上的最大值与最小值为 与 ．设函数 ，
． ，
(1)若函数 在 上单调递减，求 的取值范围；
(2)若 ．令 ．
记 ．试写出 的表达式，并求 ．
(3)令 (其中I为 的定义域)．若I恰好为 ，求b的取值范围，并求 ．
参考答案：
一、选择题
1．A．
2．B．提示：当AA′的长度等于半径长度时，∠AOA′＝π3，由圆的对称性及几何概型得
P＝2π32π＝13．
3．B．提示：①④正确．三个平面两两相交时有三种情形：交于一条直线，交于三条直线且两两平行，交于三条直线且这三条直线共点．
4．C．提示：由题意可知，b6b8＝b27＝a27＝2(a3＋a11)＝4a7．
∵a7≠0，∴a7＝4，∴b6b8＝16．
5．D．提示：由图象，知A＝2， ，∴ ，得 ．
当 时，有 ，∴ ． ∴ ．
．
6．C．提示：由P是双曲线上的一点和3PF1＝4PF2可知，PF1－PF2＝2，
解得PF1＝8，PF2＝6，又F1F2＝2c＝10，
所以三角形PF1F2为直角三角形，所以△PF1F2的面积S＝12×6×8＝24．
7．A．提示：作OE垂直于BC于E，则E为BC边的中点，所以
．
8．D．提示：作圆 关于直线 的对称图形圆 ，易知它与第二个圆 外离，所以题意变为“点 分别是圆 及直线 上的动点，求 的最大值”．
易知 (当且仅当点 分别是圆 与 轴的左、右交点时 )， (当且仅当点 在线段 上时取等号)，所以当且仅当点 分别是坐标原点、圆 与 轴的左、右交点时 取到最大值，且最大值是 ．
二、填空题
9． ．提示：因为 ，所以 ，又因为 ，所以 ．
10．60．提示：过F点作FM∥AE，FN∥ED，分别于AB、DC交于M、N，过EF中点G作GH垂直于面ABCD，H为垂足．多面体 被面FMN分割成一个三棱柱和四棱锥．
11． ．提示：因为 ，故 ．于是过 的切线方程是： ， 即 ，因此切线方程恒过 ．
12． ．提示：画出 和 的图象，可知 时方程 有三个互不相等的根 ，不妨设 ，显然 关于 对称，所以 ；而 时， ； 时， ，即 ，所以 ．
13． ．提示： ，
因为 ，故 ，
当 时， ，不合题意；
当 时， ，
由条件知 ，解得 或0(舍去)．
14．15．提示：
当 时，满足 的 不存在；
当 时， ，满足 的 也不存在；
当 时， ， 解得 ；
当 时， ， 得 或 ．
三、解答题
15．证明：(1)如图，取 中点 ，连接 ．
是 中点， 是 的中位线，
，且 ，
又 ，且 ， 且 ，
四边形 是平行四边形， ．
面 面 ， 平面 ．
(2)存在 的中点 ，使得 平面 ．
证明：如图，连接 ， 是 的中点， ．
平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ， ， ，
， ．
又 是等腰三角形， ， 是 的中点，
， ，
由 ， 平面 ．
16．解：(1) 2sin2π3＋B＋C2＋sin4π3cosπ2＋A＝1＋cos2π3＋B＋C＋sinπ3sinA
＝1＋cos5π3－A＋sinπ3sinA＝1＋cos5π3cosA＋sin5π3sinA＋sinπ3sinA
＝1＋cosπ3cosA－sinπ3sinA＋sinπ3sinA＝76．
(2) ∵ b2＋c2－a22bc＝cosA＝13，∴ 23bc＝b2＋c2－a2≥2bc－a2．
又a＝3，∴ bc≤94，
当且仅当b＝c＝32时，bc＝94，故bc的最大值是94．
∵ cosA＝13，∴ sinA＝223，S＝12bcsinA≤342．
故三角形面积的最大值是324．
17．解：(1)该同学这次水平测试中物理、化学、生物成绩是否为 的可能结果有 种，
分别为 、 、 、 、 、 、 、 ；
(2)由(1)可知，有两个A的情况为 、 、 三个，
从而其概率为
(3)方案一、该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩不全为 的事件概 率大于 ，理由如下：该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩不全为 的事件有如下七种情况： 、 、 、 、 、 、 ，
概率是 ．
方案二、该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩至少一个 的事件概率大于 ，理由如下：
该同学参加这次水平测试中物理、化学、生物成绩不全为 的事件有如下七种情况： 、 、 、 、 、 、 ，
概率是 ．
18．解：(1)
解得： ，椭圆方程为
(2)①当斜率 不存在时，由于点 不是线段 的中点，所以不符合要求；
②设直线 方程为 ，代入椭圆方程整理得
，
，解得 ，
所以直线 ．
(3)化简曲线方程得： ，是以 为圆心， 为半径的圆．当圆与直线相切时， ，此时为 ，圆心 ．
由于直线与椭圆交于 ，
故当圆过 时， 最小．此时， ．
19．证明：(1) (1)
(2)
(2)－(1)： (3)
(4)
(2)计算 ，
根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项： ， ， ， ， ， ，…
当 时，奇数项和偶数项都是单调递增的，所以不可能是周期数列，
所以 时，数列写出数列的前几项： ， ， ， ， ， ， ， ，…
所以当 且 时，该数列的周期是2，
当 时，该数列的周期是1．
(3)因为数列 是一个有理等差数列，所以 ，
化简 ，
由 可得 ，
等差数列的前几项： ， ， ， ，…
， 因为数列 是一个有理等差数列，
是一个自然数，所以 或 ，
当 时，则 ， ， ，
当 时，则 ， ， ．
20．解：(1) ，由题意 ．
(2) ．
(�)当 时， ＝ g(1)＝a＋2b－1，
＝ g(b)＝ab＋b， 此时， ．
(�)当 时， ＝g(3)＝3a＋b，
＝ g(b)＝ab＋b， 此时， ．
故 ，
因 在 上单调递减，在 单调递增，
故 ＝h( )＝ ，
故当 时，得 ．
(3)(�)当 时，f(x)＝b， ，
(�)当 ，即 时， ，
(�)当 时，即 (*)，
①若2b－3>1即b>2， 由(*)知 ，
但此时 ，所以b>2不合题意．
②若2b－3 即b 2， 由(*)知 ，
此时 ， 故 ，
且 ，于是，
当 时， ，
当 时， ，
即 ，
从而可得当a＝0时， ＝0．
责任编辑 李婷婷
