表面与界面效应_压电螺型位错与含界面效应纳米夹杂干涉研究

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  摘 要:研究在无穷远纵向剪切和平面内电场作用下压电智能材料中螺型位错与考虑界面应力纳米尺度夹杂(纤维)间的力电耦合交互作用.运用复势方法,求解了夹杂和基体中复势函数的解析解以及应力场和电位移场分量.利用广义Peach�Koehler公式,给出了作用在压电螺型位错上位错像力的解析解答.研究结果表明:当夹杂的半径缩减到纳米尺度时,界面效应对夹杂(纤维)附近位错运动和平衡位置的影响将变得非常显著.正界面效应将排斥基体中的位错;当存在正的界面效应时,软夹杂能排斥界面附近的压电螺型位错.
  �
  关键词:压电材料;螺形位错;界面应力;复势函数方法;位错力�
  中图分类号:O343.7 文献标识码:A
  
  
  Interaction between a Screw Dislocation and �a Nanoscale Inhomogeneity with Interface Effects
  
  ��
  FANG Qi�hong��1,2��, XU Wei��1,2�, FENG Hui��1,2�, LIU You�wen��1,2��
  (1.State Key Laboratong of Adcomced Design and Manufocturing for Vehicle Body,Hunan Univ,Changsha,Hunan�
  410082,China; 2.College of Mechanical and Vehicle Engineering, Hunan Univ, Changsha, Hunan 410082, China)
  Abstract:The interaction of a piezoelectric screw dislocation in the matrix with interface effects under remote anti�plane shear stresses and in�plane electric loads in transversely isotropic piezoelectric solids was investigated. By using the complex variable method, the general solutions to the problem were given. With the aid of the Peach�Koehler formula, the explicit expressions of the image force acting on the screw dislocations were given. The results have indicated that the influence of the interface stress on the motion and the equilibrium of the dislocation near the inhomogeneity become significant when the radius of the inhomogeneity is reduced to nanometer scale. If the dislocation is located in the matrix, the positive interface effects can repel it. The soft inhomogeneity can also repel the screw dislocation near the inhomogeneity when the positive interface effect is considered.
  
  �
  Key words:piezoelectric material; screw dislocation; interface stress; complex variable method;image force
  ��
  
  压电材料是一种能实现电能和机械能之间相互转化的智能材料.由于压电材料良好的力电耦合性能而被广泛应用于现代工业.由于材料在制备和使用过程中不可避免会产生各种缺陷,例如,孔洞,位错,裂纹等,这些缺陷会不同程度的影响压电材料的电弹耦合性能��[1-6]�.因此,研究压电材料中位错与第二相夹杂或缺陷的干涉作用具有重要的科学意义. �
  在研究位错和夹杂的长程交互作用机理时,界面边界条件是一个关键的影响因素.众所周知,对于微米级及其以上的夹杂,界面区域与夹杂的体积比很小,界面效应不明显,可以忽略;而对于纳米尺寸第二相,界面区域与夹杂的体积比相对较大,界面应力效应不可忽略的��[7]�.Gurtin 和 Murdoch��[8]� 首次研究了弹性固体的表/界面效应问题,提出了所谓的“表/界面效应模型”.在他们的模型中,界面是粘结在夹杂上没有厚度的一个区域,但界面具有与夹杂不同的弹性模量和本构方程.在夹杂和基体中平衡方程和本构方程与经典弹性力学的一样,但是界面应力的存在产生了新的局部扰动边界条件.当前,界面应力模型已被广泛用来研究纳米尺度结构和纳米材料中的各种力学问题��[9-10]�.Fang和Liu��[11]�研究了弹性各向同性材料中位错与含界面应力纳米尺寸圆形夹杂弹性干涉作用.Luo和Liu��[12]�研究了向错与含界面效应纳米尺度圆形夹杂弹性干涉作用.最近,Ou和 Pang��[13]�研究了螺型位错与含界面效应圆形涂层夹杂的弹性干涉问题. �
  近年来,Huang和Yu��[14]�研究了压电材料环中表面效应对力电场的影响.Pan等��[15]�研究了压电复合材料中界面效应对复合材料有效弹性模量的影响规律.到目前为止,尚未有学者研究位错与考虑界面效应的纳米尺寸压电夹杂(压电纤维)的交互作用问题.本文研究纵向剪切和平面电场作用下,螺型位错与含界面效应压电夹杂的电弹耦合干涉效应.
  
  1 问题描述和解答
  1.1 基本公式�
  对于极化方向沿�z轴的横观各向同性压电介质,设xoy平面为各向同性面,在无穷远处反平面加载和面内电场作用下,仅产生沿z轴方向的反平面位移w,应变分量γ��xz�和γ��yz�,应力分量τ��xz�和τ��yz�,电势φ,电场强度E�x和E�y,电位移分量D�x和D�y都将会出现在基本方程中.并且上述各量均为x,y的函数力电耦合本构方程可表示为��[16]�:�
  τ��xz�=c��44��w�x+e��15��φ�x,�
   τ��yz�=c��44��w�y+e��15��φ�y. (1)�
  D�x=e��15��w�x-d��11��φ�x ,�
  D�y=e��15��w�y-d��11��φ�y .(2)�
  
  式中:c��44��,e���15��,d���11�分别表示压电材料的纵向剪切模量(恒定电场),压电常数和介电常数(恒定应�力场).��
  平衡方程和控制方程可以简化成如下调和�方程:��
  
  �SymbolQC@�2w=0,
  �SymbolQC@�2φ=0.(3)�
  
  式中:
  �SymbolQC@�2=��2/�x�2+��2/�y�2表示二维�Laplace�算子.�
  湖南大学学报(自然科学版)2012年
  第4期方棋洪等:压电螺型位错与含界面效应纳米夹杂干涉研究
  引入广义位移矢量U={w,φ}��T�,将其代入式(3)中可以得到:�
  
  �SymbolQC@�2U=0 .(4)�
  
  
  引入广义应力和应变�
  Σ�x=τ��xz��D�x, Σ�y=τ��yz��D�y,(5)�
  Y�x=�xz��-E�x,Y�y=�yz��-E�y. (6)�
  
  代入式(1)、式(2)得到:�
  Σ�x=MY�x, Σ�y=MY�y.(7)�
  
  式中M称为电弹模量矩阵:M=c��44�e��15��e��15�-d��11�.�
  式(4)中的广义位移矢量的一般解可用解析函数f(z)表示:�
  U=�Re� f(z).(8)�
  
  式中:�Re�表示取实部,并且f(z)=�f��w(z)��f��φ(z) .�
  函数f�wz和f�φz为一般解析函数.所以式(7)可以表示为:�
  Σ�x-�i�Σ�y=MF(z). (9)�
  
  式中:F(z)=f�′z,“′”表示对z求导.在极坐标下,式(9)可写为:�
  Σ�r-�i�Σ�ρ=�e����i�θ�MF(z).(10)
  1.2 问题描述�
  无限大压电介质中包含一半径为R的圆形纳米夹杂,假设基体和夹杂为横向各向同性体,且以xoy平面为各向同性面,夹杂在z方向无限延伸.设基体在无穷远处受反平面力荷载(τ�
  �SymboleB@��xz�,τ�
  �SymboleB@��yz�)和平面电荷载(D�
  �SymboleB@�x,D�
  �SymboleB@�y).压电螺型位错位于基体中的任意点z�0(=x�0+�i�y�0=ρ�e��i�θ�).夹杂和基体材料所占据的区域分别用S�+和S�-标记,夹杂和基体的界面用L标记,如图1所示.�令圆形夹杂的中心为复平面z=x+�i�y的原点,t=R�e��i�θ�表示|z|=R上的点.该问题的广义位移矢量和广义应力界面连接条件可以表示为:�
  U�+�1(t)=U�-�2(t), t∈L.(11)�
  图1 含界面效应夹杂�
  
  �Fig.1 Inhomogeneity with interface ��
  �
  
  
  
  Σ�+��r1�(t)-Σ�-��r2�(t)=-1RM�s��θ�Im �[�e��i�θ�f�′(z)],�
  t∈L.(12)�
  
  式中:M�s=c�s��44�-τ�s�0e�s��15��e�s��15�-d�s��11�是界面的电弹模量矩阵,τ�s�0是残余应力, R是夹杂的半径,下标“1”和“2”分别代表区域S�+(夹杂)和S�-(基体),上标“+”和“-”表示函数从S�+和S�-趋向界面时所取的值.
  1.3 问题的一般解答�
  根据推广的�Schwarz�解析延拓原理,引用两个新的解析函数F��1*�(z)和F��2*�(z),并注意到在|z|=R上,t=R�2,�
  F��1*�(z)=-R�2z�2�F��1R�2z, z∈S�- .(13)�
  F��2*�(z)=-R�2z�2�F��2R�2z, z∈S�+.(14)�
  
  式中:“-”表示对复数取共轭.�
  当螺型位错在基体中时,由奇性分析可知区域S�-的复势函数可以表示为:�
  F�2(z)=B1z-z�0+Γ+F��20�(z) , z∈S�- .(15)�
  
  式中:B=12�πi�b=12�πi�{b�z,b�φ}��T�,表征广义螺型位错的位错强度.F��20�(z)是区域S�-内的全纯函数,Γ由无穷远应力和电位移确定:�
  Γ=M��-1��2(Σ�∞�x-Σ�∞�y)=M��-1��2τ�∞��xz�-�i�τ�∞��yz�.�
  D�∞�x-�i�D�∞�y.�
  
  式中:M�2=c��(2)���44�e��(2)���15��e��(2)���15�-d��(2)���11�,上标“-1”表示矩阵�求逆.��
  将式(15)代入式(14)中可以得到F��2*�(z):�
  
  
  F��2*�(z)=1z-z�*-1z-R�2z�2Γ+F��20*�(z), �
  z∈S�+.(16)�
  
  式中:z�*=R�2/�z�0�,F��20*�(z)是区域S�+内的全纯�函数.��
  将式(8)对θ求微分,代入式(11)有:�
  �F�1(t)-F��2*�(t)��+=�[F�2(t)-F��1*�(t)]��-,t∈L. (17)�
  考虑式(13)~式(16),并根据推广的�Liouville�定理��[17]�和方程(17)可以得到:�
  F�1(z)-F��2*�(z)=g(z), z∈S�+.(18)�
  F�2(z)-F��1*�(z)=g(z), z∈S�-.(19)�
  
  并且在全平面上有�
  g(z)=B1z-z�0-1z-z�*-1z+Γ+R�2z�2Γ. (20)�
  结合式(10),并考虑式(13)~式(16),边界条件(12)可以表示如下:�
  �M�1F�1(t)-M�2F��2*�(t)+1RM�sF��2*�(t)��+=�
  M�2F�2t-1RM�sF�2t+M�1F��1*�t-�
  1RM�stF�′�2(t)-1RM�s�e���-2�i�θ�tFR�2t�-. (21)�
  
  式中:M�1=c��(1)���44�e��(1)���15��e��(1)���15�-d��(1)���11�.�
  将式(14)对z微分可以得到如下关系:�
  �F�′�2(z)�=-�e���4�i�θ�F�′��2*�(z)-2�e����i�θ�R�F(z)� .(22)�
  
  式(21)可以表示如下:�
  
  M�1F�1(t)+M�2F��2*�(t)+1RM�sF��2*�(t)+tRM�sF�′��2*�(t)�+=�
  
  M�2F�2(t)+M��21�F��1*�(t)+1RM�sF��2�(t)+tRM�sF�′��2�(t)�-.(23)�
  根据推广的�Liouville�定理��[17]�和式(23)可以�得到:��
   M�1F�1(z)+M+zRM�sF��2*�(z)+zRM�sF�′��2*�(z)=h(z),�
  z∈S�+. (24)�
  M+1RM�sF��2�(z)+M�1F��1*�(z)-zRM�sF�′��2�(z)=h(z),�
  z∈S�- .(25)�
  并且由式(14),式(15),式(24),式(25)可得到全平面上:�
  h(z)=M�2-1RM�sB1z-z�0+M�2+1RM�s�
   1z-z�*-M�21z+1RM�sBz�z-z�0��2-�
   1RM�sz�z-z�*��2+M�2-1RM�sΓ-�
   �M�2-1RM�s��2R�2z�2Γ.(26)�
  由式(18)和式(24)得到:�
   [M�1+M�2+1RM�s]F�1(z)+zRM�sF�′�1(z)=�
  h(z)+[M�2+1RM�s]g(z)+1RM�szg�′(z).(27)�
  运用幂级数展开法得到:�
  �F�1z=∑
  �SymboleB@�k=0�a�kz�k , z<R .(28)�
  
  式中:�
  a�0=-2�M�1+M�2+1RM�s��-1��M�2B1z�0-M�2Γ,�
   a�k=-2M�1+M�2+1+kRM�s��-1�M�2B(1z�0)��k+1�,�
  k≥1.�
  
  
  由式(13)有:�
  F��1*�(z)=-∑
  �SymboleB@�k=0��a�k�R��2k+1�z��-k-2�,|z|>R .(29)�
  
  
  将式(29)代入式(19)可以得到:�
  
   F�2(z)=B1z-z�0-(1z-z�*-1z)+Γ-�
  
   2�M�1+M�2+1RM�s��-1��M�1-M�2+1RM�sR�2z�2Γ+�
  
   2�∑
  �SymboleB@�k=0�M�1+M�2+1+kRM�s��-1��M�2�R�2�0��k+1��z��-k-2�,�
  |z|>R. (30)�
  
  
  将以上结果经过退化可以得到�Fang���[12]�的结果.
  2 考虑无穷远加载时应力场和电位移场�
  1)不存在位错时,把式(30)代入(10)中,得到界面上的应力场和电位移场为:�
  
  Σ�rt-�i�Σ�ρt=�e��i�θ�M�2F�2t=�e��i�θ�M�2Γ+�
  
  �e��i�θ�M�2�M�1+M�2+1RM�s��-1��M�1-M�2+1RM�sΓR�2t�2. (31)�
  式中t=R�e ��i�θ�.�
  2)位错在基体中时,由式(9)和(28)得到夹杂内的应力场和电位移场为:�
  Σ�x-�i�Σ�y=M�1F�1(z)=-�
   2M�1ΛM�2B1z�0-M�2Γ-�
  2∑
  �SymboleB@�k=1�M�1�M�1+M�2+1+kRM�s��-1��M�2B�(1z�0)��k+1��z�k.(32)�
  式中:Λ=�M�1+M�2+1RM�s��-1��.�
  3)位错在基体中时,由式(9)和(30)得到基体中的应力场和电位移场为:�
  Σ�x-�i�Σ�y=M�2F�2(z)=�
  M�2B1z-z�0-M�2(1z-z�*-1z)+M�2Γ-�
  2M�2ΛM�1-M�2+1RM�sR�2z�2Γ+�
  
   2�∑
  �SymboleB@�k=0�M�2M�1+M�2+1+kRM�s��-1��M�2�R�2�0��k+1���
  z��-k-2�.(33)
  3 广义螺型位错上的位错力�
  作用在压电螺型位错上的位错力可以用�Pak��[18]�的广义Peach�Koehler�公式计算:�
   F�x-�i�F�y=�i�b��T��xz�0-�i��yz�0.(34)�
  
  式中:F�x和F�y分别表示沿x和y方向的位错力;Σ�x(z�0)和Σ�y(z�0)分别代表由夹杂引起的扰动(干涉)应力场和广义电位移场分量.由式(30)和式(34),并参考�Lee���[19]�的文献,我们可以得到位错点的扰动广义应力场.�
  考虑到位错在基体中任意点z�0,所以有�
  F�x-�i�F�y=�i�b��T�M�2F�2(z�0)=�
  12�π�b��T�M�b1z�0-R�2/�0-1z+b��T��i�τ�∞��xz�+τ�∞��yz��
  �i�D�∞�x+D�∞�y+�
  b��T�M�2ΛM�1-M�2+1RM�sR�2z�2�0M��-1��2�i�τ�∞��xz�-τ�∞��yz��
  �i�D�∞�x-D�∞�y-�
  1�π�b��T�M�2∑
  �SymboleB@�k=0�ΛM�2bR�2�0��k+1�z��-k-2��0.(35)�
  
  
  
  不失一般性,作如下假设:无穷远加载为零(Γ=0)和位错位于x轴上某点(z�0=x�0>R),此时,沿y方向的位错力F�y=0.可以得到位错在基体材料中时x方向的位错力为:�
  
  
  
  F�x=12�π�b��T�M�2b1x�0-R�2/x�0-1x�0-�
  
  b��T�M�2�π�∑
  �SymboleB@�k=0��M�1+M�2+1+kRM�s��-1��M�2bR��2k+1�x��-2k-3��0.(36)�
  
  
  式(36)表明广义压电螺型位错在x轴上时只能沿着x轴运动.�
  x方向无量纲位错力F��x0�=2�π�R�b��T�M�2b��-1��F�x可以表示为:�
  F��x0�=Rx�0-R�2/x�0-Rx�0-�
  2�b��T�M�2b��-1��b��T�M�2∑
  �SymboleB@�k=0�ΛM�2bR��2k+3�x��-2k-3��0.(37)
  4 分析和讨论�
  现在,讨论各参数对位错力的影响.假设无穷远加载为Γ=M��-1��2τ�∞��xz�-�i�τ�∞��yz��
  0,基体材料为�PZT�5H�压电陶瓷,其刚度模量矩阵�
  M�2=12.6×10��10��N/m�26.5 C/m�2�6.5 C/m�2-1.51×10��-8� C/Vm,�
  界面的刚度模量矩阵为:�
  M�s=7.56 �N/m3�10��-8�� C/m�3�10��-8�� C/m0��[14]�,�
  压电螺型位错b=�{b�zb�φ}���T�={1.0×�10��-9�� m 1.0 V}��T���[20]�.设纳米压电夹杂和压电基体的介电常数d��(1)���11��=d��(2)����11�.定义如下无量纲量α=c��(1)���44��/c��(2)����44�,β=e��(1)���15��/e��(2)����15�,n=τ�
  �SymboleB@��xz�/τ�
  �SymboleB@��yz�和e�s��15�=δe�s�0,其中e�s�0=3×�10��-8���C/m.��
  利用式(31)说明当基体中不存在压电螺型位错,只承受无穷远加载时界面上的应力场分布.取不同的δ (δ取负值表示负的界面效应),α=0.5, β=1时界面上应力分布如图2所示,图2表明,随着δ的增大,界面应力的值也相应增大.�
  假设无穷远应力场和电场为零(Γ=0),忽略残余应力τ�s�0.利用式(37)说明螺型位错在基体中时,夹杂与基体的相对刚度、相对压电常数和界面效应对位错力的影响规律.��
  θ/�rad��
   图2 Σ�x在界面上的分布曲线�
  
  �Fig.2 Stress� Σ�x �as a function of� θ
  ��
  
  图3描绘了当β=1.0,R=10 �nm�时,基体和夹杂的相对刚度α取不同的值时,位错力F��x0�随着位错在x轴上的相对位置ρ的变化规律.从图3中可以发现,当界面效应不存在(M�s=0)时,纳米软夹杂会一直吸引基体中的压电螺型位错,符合经典弹性理论;当存在界面效应(M�s≠0)时,若夹杂与基体的相对刚度相当(α=1.0),压电螺型位错一直被排斥,并且越靠近界面排斥力越大,软夹杂(α=0.3)对位错先排斥后吸引,并且在x轴上存在一个稳定的平衡点;而硬夹杂(α=2.0)对位错总是排斥,说明界面效应对位错产生排斥效果.�
  ρ�图3 F��x0�随位错相对位置ρ的变化规律�
  
  �Fig.3� F��x0� � as a function of� ρ�
  �
  图4描绘了当α=0.5,R=10 �nm�时,基体和夹杂的相对压电常数β取不同的值时,位错力F��x0�随着位错在x轴上的相对位置ρ的变化规律,从图4中不难看出,位错向界面靠近,当界面效应不存在(M�s=0)时,纳米软夹杂将一直吸引基体中的压电螺型位错,这是与经典弹性理论的结果一致的;当存在界面效应(M�s≠0)时,纳米软夹杂(α=0.5)将先吸引后排斥位错,在x轴上存在一个位错的稳定平衡点,并且随着相对压电常数β的增大位错力也增大. �
  ρ�
  图4 F��x0� 随位错相对位置ρ的变化规律�
  
  �Fig.4�F��x0�� as a function of � ρ ��
  
  
  图5描绘了当ρ=1.2,α=1.0,β=0.5时,纳米夹杂半径R取值不同时,位错力F��x0�随界面效应的变化规律,从图5不难看出,夹杂半径R越小,界面效应对位错力的影响效果越明显,即曲线的斜率越大,当夹杂半径R很大(如R=100 �nm�)时,位错力几乎不受界面效应的影响,故界面效应对位错力的影响可以忽略,从而我们可以认为界面效应只有在纳米尺度下才存在.�
  δ�
  图5F��x0�随δ的变化规律�
  �Fig.5�F��x0� �as a function of � δ�
  
  5 结 论�
  研究了压电材料中螺型位错与含界面应力纳米尺度夹杂的力电耦合交互作用.运用复势函数方法和位错理论,求解了作用在压电螺型位错上的位错力,最后分析和讨论了弹性参数,压电参数以及界面效应对位错力的影响规律.�
  研究结果表明,正的界面效应排斥基体中的压电螺型位错.考虑界面效应时,软夹杂会排斥基体中的压电螺型位错,并且越靠近界面,作用在位错上的排斥力越大,在夹杂附近存在一个位错的稳定平衡点;当夹杂半径缩小到纳米尺度时,随着界面效应的变化位错力的变化非常明显,而当夹杂半径增大到一定程度(R=100 �nm )后位错力随着界面效应的变化趋于不明显,甚至不受界面效用的影响,由此可见,压电材料中界面效应也只在纳米尺度时才对位错力的影响效果明显.上述研究表明界面效应在界面处产生了一个局部的界面硬化区域,导致对压电基体中的压电螺型位错产生排斥作用.参考文献�
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