【www.zhangdahai.com--其他范文】
尹尧
含参不等式恒成立问题一般较为复杂.仅运用不等式的性质，往往很难找到使不等式恒成立的条件，使问题顺利得解.这就需要采用不同思路，如变换主元、分离参数、分类讨论等来解题.下面结合实例来谈一谈解答含参不等式恒成立问题的三种思路.
一、变换主元
变换主元法是指将问题中主元、参数的位置互换，即将参数视为主元，将主元视为参数进行求解的方法.运用变更主元法解答含参不等式恒成立问题，需先找出所要求证不等式中的变量与参数，然后将两者进行互换，得到新不等式，根据新主元的取值或者限制条件，列出满足题意的不等式或不等式组，从而解题.
例1，对于任意-1≤a≤1，x+（a-4）x+（4-2a）>0恒成立，则x的取值范围为________.
解：设f（a）=（x-2）a+（x-4x+4），a∈[-1，1]，
则问题等价于在a∈[1，1]时，f（a）>0恒成立，
解得x<1或x>3，
所以实数x的取值范围为（-∞，l）∪（3，+∞）.
将x和a进行变换，把a看作主元，构造关于a的函数f（a），便可采用变更主元法来解题.很显然f（a）为一次函数，根据一次函数的性质，要使f（a）>0恒成立，只需使[-1，l]上的所有函数值都大于0，建立关于x的不等式组，即可解题.
二、分离参数
分离参数法是解答含参不等式恒成立问题的重要方法.运用分离参数法求解不等式恒成立问题，需先将不等式进行变形，使参数分离，得到形如a≤f（x）、a<f（x）、a>f（x）、a≥f（x）的式子，只要使a≤f（x）、a<f（x）、a>f（x）、a≥f（x），就能确保不等式恒成立.在求f（x）的最值时，往往可根据导数的性质、函数的单调性，或利用基本不等式.
例2.已知函数f（x）=-xlnx+a（x+1），若f（x）≤2a在[2，+∞）上恒成立，求a的取值范围.
令t（x）=lnx-x+1，x≥2，
当x≥2时，t′（x）<0，
故t（x）在[2，+∞）上單调递减，
可得t（x）=ln2-l<0，
则函数g（x）在[2，+∞）上单调递增，
可得a≤g（x）=g（2）=2ln2，
所以a的取值范围为（-∞，2ln2].
首先将不等式进行移项、变形，使参数a分离，得到a≤g（x）对函数g（x）求导，根据导函数与函数的单调性之间的关系判断出函数g（x）的单调性，求得函数g（x），即可运用分离参数法，确定参数a的取值范围.
三、分类讨论
含参不等式恒成立问题中参数的取值往往不确定，因而在求解含参不等式恒成立问题时，需灵活运用分类讨论法，对参数或某些变量进行分类讨论，从而求得问题的答案.而确定分类讨论的标准是解题的关键，可根据一元二次方程的判别式大于、等于、小于0进行分类讨论;也可根据二次函数的二次项系数大于、小于。进行分类讨论;还可根据导函数值大于、等于、小于0进行分类讨论.
例3.设f（x）=x-2mx+2，当x∈[-l，+∞）时，f（x）≥m恒成立，求参数m的取值范围.
分析：首先将不等式f（x）≥m转化为F（x）=x-2mx+2-m≥0.要使F（x）≥0，需使该函数在x∈[-1，+∞）上恒大于或等于0.由于x-2mx+2-m=0为一元二次方程，只需讨论方程在x∈[-1，+∞）上的根的分布情况.而方程的根的分布情况主要由判别式确定，所以需采用分类讨论法，对方程的判别式与0之间的大小关系进行讨论.
解：设F（x）=x2mx+2-m，
则问题等价于当x∈[-1，+∞）时，F（x）≥0恒成立，
①当Δ=4（m-1）（m+2）<0，即-2<m<1时，F（x）>0恒成立，
解得-3≤m≤-2，
综上所述，参数m的取值范围为m∈[-3，1）.
采用分类讨论的思路来求解含参不等式恒成立问题，一般可将参数或与参数相关的量定为分类讨论的对象，再根据题意确定分类讨论的标准，逐层、逐级进行讨论，最后综合所得的结果即可.
相比较而言，第一种思路的适用范围较窄;第二、三种思路较为常用，但第三种思路解题的过程繁琐，且运算量较大.因此在解题时，同学们可首先尝试将参数分离，将问题转化为最值问题来求解;若行不通，再考虑运用变更主元、分类讨论的思路.
猜你喜欢 判别式单调思路 运用判别式解题时应避开的几个误区语数外学习·初中版(2022年4期)2022-06-10怎样判断函数的单调性语数外学习·高中版上旬(2020年10期)2020-09-10根的判别式应用“大超市”中学生数理化·中考版(2016年8期)2016-12-07我的思路我做主新高考·高一数学(2016年3期)2016-05-19世界正在变得单调奥秘(2015年5期)2015-09-10现在进行时表将来海外英语(2013年7期)2013-11-22盘点根的判别式在中考中应用数理化学习·初中版(2011年9期)2011-11-14单调区间能否求“并”中学理科·综合版(2008年9期)2008-10-15本文来源：http://www.zhangdahai.com/shiyongfanwen/qitafanwen/2023/0321/573341.html
