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李大海，刘庆腾，艾志刚，王振东
（江西理工大学信息工程学院，江西赣州 341000）
目前，越来越多的非线性、高维度的工业类优化问题已难以使用传统方法进行求解。随机搜索算法因为其易实现、高灵活性、高效性正被广泛应用于此类优化问题的求解，比如复杂系统参数设计、图像分割、生产调度、路径优化等［1］。
目前已知的大多数随机搜索算法来源于对自然界生物行为的模拟。例如，Kennedy 等［2］提出的粒子群优化（Particle Swarm Optimization，PSO）算法是模仿鸟群觅食行为；
Yang［3］提出的花授粉算法（Flower Pollination Algorithm，FPA）是模拟自然界花粉不同传播方式；
Mirjalili 等［4］提出的灰狼优化算法（Grey Wolf Optimizer，GWO）是模仿北美灰狼的等级制度和觅食行为；
Mirjalili［5］提出的鲸鱼优化算法（Whale Optimization Algorithm，WOA）是模仿鲸鱼在海中捕猎的方式；
Askarzadeh［6］提出的乌鸦搜索算法（Crow Search Algorithm，CSA）是模仿自然界中乌鸦偷窃和藏匿食物行为；
Xue 等［7］提出的麻雀搜索算法（Sparrow Search Algorithm，SSA）是模仿麻雀群觅食和反捕食行为。
阴阳对优化（Yin-Yang-Pair Optimization，YYPO）算法是Punnathanam 等［8］受中国古代阴阳平衡思想启发提出的一种单目标随机搜索算法，是一种基于在搜索空间的全局搜索和局部开发之间保持平衡的轻量级优化算法。它在每次迭代中通过对于P1（exploitation 点或阳点）和P2（exploration 点或阴点）两点的择优交换实现更新迭代［9］。YYPO 算法的优点是设置参数相对较少，时间复杂度相对较低，但其缺点是在求解复杂困难的优化问题时，易早熟收敛［10］。
对于YYPO 已有诸多改进算法被提出。Punnathanam等［11］提出了简化阴阳对优化（Reduced YYPO，R-YYPO）算法，在分割更新中舍弃了原YYPO 算法中的D 向分割模式，而只采用单向分割的优化策略，获得了更快的收敛速度；
但降低了算法搜索到最优解的几率。Maharana 等［12］提出了动态阴阳对优化（Dynamic YYPO，DYYPO）算法，在搜索早期固定使用较高的存档频率，并随着迭代次数的增加逐渐降低存档频率；
但在优化复杂问题时易早熟收敛。Song 等［13］提出了一种改 进阴阳对 优化算法 3D-YYPO（3 Dimensional-YYPO），其在分割过程中增加了一种三维矩阵的分割策略以提高算法的收敛速度，并被应用在高海拔风力发电机的设计参数优化问题中。实验结果表明，前述的参数优化能取得较好的结果。许秋艳等［10］提出了一种基于混沌搜索和错卦变换的阴阳平衡优化算法，该算法是在原YYPO 的基础上加入混沌搜索以增加算法的多样性，并加入错卦变换利用反向学习策略以增强算法寻优能力；
但其大幅增加了算法的复杂程度。李大海等［9］提出了针对YYPO 中的缩放因子α参数机制进行改进的阴阳对优化算法IYYPO（Iteration YYPO）。IYYPO 通过使用线性与非线性自适应变化3 种方式调节缩放因子α，能取得比原YYPO 算法更快的收敛速度和更高的求解精度。李大海等［14］提出的改进阴阳对优化算法YYPO-SA（Yin-Yang-Pair Optimization-Simulated Annealing）是在P1 和P2 两点交换之间加入模拟退火策略，其依据交换策略的不同又细分为两种算法，即YYPO-SA1 和YYPO-SA2。实验结果表明，YYPO-SA 在统计学意义上拥有更稳定求解的能力和更高的计算精度，并且YYPO-SA1 比YYPO-SA2 具有轻微的性能优势。Yang［15］表明增强算法的随机性对提高优化算法的性能有着显著的影响：比如：陈立等［16］将随机性引入改进的小窗口蚁群算法，增强了算法的鲁棒性；
刘畅等［17］将随机机制应用到萤火虫算法，也增强了算法的优化能力；
王兴柱等［18］在粒子群算法上引入随机性权重也取得了良好的效果。
为进一步提升YYPO-SA1 的性能，本文基于YYPOSA1［14］提出了一种基于动态D 向分割和混沌扰动的阴阳对优化算法NYYPO（Newton-Yin-Yang-Pair Optimization）。在YYPO-SA1 中融入自适应迭代衰减因子的牛顿衰减策略来动态调整单向分割与D 向分割的概率，以提高YYPO-SA1 算法的随机性。在搜索的早期以较大的概率进行D 向分割，以增强全局搜索能力，并在分割阶段加入混沌概率扰动策略，利用混沌的遍历性增强算法的局部搜索能力，进一步增强算法的搜索能力。本文选用在2013 年进化计算大会的单目标实参算法竞赛中使用的15 个有代表性的测试函数作为性能测试的基准函数（表1）。在测试中，将NYYPO 和YYPO-SA1以及多个具有优良性能的代表性的单目标优化算法：粒子群优化（PSO）算法、乌鸦搜索算法（CSA）、灰狼优化算法（GWO）、鲸鱼优化算法（WOA）、花授粉算法（FPA）、麻雀搜索算法（SSA）进行性能测试与比较。基于实验数据，本文还采用Friedman 检验［19］分析方法评估各算法的性能。实验结果表明，本文提出的NYYPO 算法相比其他算法能有更稳定以及高效的求解能力。
YYPO 使用P1 和P2 两点生成的附加点探索更新，并在每次迭代中将P1 和P2 两点择优交换。YYPO-SA1 是在P1和P2 两点交换的步骤中加入模拟退火算法策略，即以一定的概率使P1 和P2 两点不发生交换操作，让P1 点在非优解位置继续探索，从而能对更多位置做小范围的搜索，使算法在一定程度避免陷入局部最优。
和YYPO 相同，YYPO-SA1 也是通过在P1 和P2 两点为中心的两个超球体的内部生成新的附加点进行探索更新，并在每次迭代 中按照式（1）减小半径δ1和增大半 径δ2。YYPO-SA1 具有3 个用户自定义的参数（Imin，Imax，α），其中Imin和Imax分别为存档次数I的最大值和最小值，α是缩放因子。半径δ1和δ2的缩放公式如下：
YYPO-SA1 同时通过单向分割与D 向分割两种机制在P1 和P2 为球心的超球体内部产生2D个新附加点，其中D代表搜索空间的维度。在单向分割中将P1 和P2 两点分别复制2D份存储在NP中。单向分割的更新公式如下所示：
其中：k表示点号；
j表示点的第j维度；
r是介于0～1 的随机数。因为NP中的每个修改都需生成一个新的随机数r，所以共需要2D个随机数。D 向分割的更新公式如下所示：
其中：k表示点号；
j表示点的第j维度；
r是介于0～1 的随机数。由于在NP中每个点的每个变量生成一个新的随机数r，所以需要2D*D个随机数。B是一个长度为D的二维随机二进制字符串矩阵。
D 向分割完成后，在P1 的δ1半径和P2 的δ2半径内也都各自得到2D个随机分布的点。显然，在D 向分割的更新方式下，算法会以比单向分割更大随机性探索解空间。
YYPO-SA1 采用的模拟退火机制的降温公式如下：
其中：S是温度变化次数，m是退火次数，T0是初始温度TS是降温后温度。如式（4）所示，模拟退火算法中使用两种退火策略，即：在降火次数小于等于m时，温度T快速下降；
而大于m时，温度T以相对较慢的速率下降。两种退火策略在算法的前后期接受非最优解的概率不同，能够使算法更高效地跳出局部最优解，退火次数m设置为15［20］。YYPO-SA1 算法的主要步骤如下：
步骤1 对两点P1、P2 进行随机初始化。
步骤2 计算初始化两点P1、P2 的适应度值。
步骤3 若点P2 的适应度值优于点P1 的适应度值，交换两点的位置和搜索半径。
步骤4 根据式（2）和式（3）等概率对P1、P2 两点进行分割更新，在两点交换过程中加入模拟退火算法。
步骤5 接受更新后的P1、P2 两点的结果，根据模拟退火算法的概率决定是否不交换两点位置。
步骤6 若分割更新次数等于存档次数进入存档阶段，否则转步骤4。
步骤7 若满足算法终止条件输出算法最优解，否则转步骤3。
实验结果表明，YYPO-SA1 相较于YYPO 搜索精度与稳定性都有较好的提升。
YYPO-SA1 和YYPO 使用相同的分割策略，两者都以固定的概率0.5 进行单向分割或进行D 向分割。
因为D 向分割的随机性显然要优于单向分割，并且提高算法的随机性有助于提高算法的优化性能［15］，所以NYYPO采用了基于牛顿衰减的自适应机制来动态调整D 向分割和单向分割的概率；
同时，在YYPO 及其改进算法中，P1 和P2两点在设计上分别用于局部探索和全局开发，调节两点的分割概率能够更好地利用算法寻优的特点。为了验证不同D向分割概率对于算法性能的影响，在YYPO-SA1 中，将D 向分割概率P分别设置为0.2、0.4、0.6、0.8，然后在测试函数f2和f13上进行实验：f2是典型的单峰函数，其不存在局部最优点；
f13是复杂的多峰函数，其存在多个局部最优。单峰的f2用于测试算法的局部搜索能力，而多峰的f13用于测试算法的全局寻优以及跳出局部最优的能力。
图1（a）和1（b）分别显示了YYPO-SA1 在不同的D 向分割概率下的最优值的收敛曲线。从图1（a）上可以看出，当D向分割概率为0.8 时，算法在单峰的f2测试函数上的收敛情况最好；
从图1（b）上可以看到，在f13测试函数上，增大D 向分割的概率，可以显著地提高算法的搜索性能。测试结果表明，通过增大D 向分割的概率的方式来提高算法的随机性至少能够显著提高YYPO-SA1在某些测试函数上的搜索性能。
图1 不同概率下算法收敛情况Fig.1 Algorithm convergence under different probabilities
2.1 调节算法D向分割概率方式的分析
在智能优化算法中增强算法随机性的方式有很多，其中伴随迭代次数变化而变化的自适应策略是一种经典并且被广泛应用的自适应调节策略。比如，徐航等［21］曾在鲸鱼优化算法上提出使用随迭代次数自适应调节算法权重参数和阈值，提高了算法的优化效果。
牛顿衰减定律是在考虑周围环境温度固定的条件下，计算一个热物体温度随时间变化的规律［22］，其常用于模拟退火算法中的温度调节，比起常规的温度调节有着更好的优化效果［23］。NYYPO 算法采用牛顿衰减定理调节温度的方式融入随迭代次数自适应调节的衰减因子动态地调节D 向分割的概率，其调节概率的公式如式（5）所示：
其中：t是算法当前的迭代次数；
R(t)表示第t次迭代的分割概率；
初始的D 向分割概率设置为D 向分割概率的上边界；
RL是D向分割概率的下边界；
T是算法总的迭代次数；
参数Z是衰减因子，设为固定值0.001［23］。
在式（5）中，D 向分割概率以更慢的速率随着迭代次数的增加逐渐非线性降低，可以使NYYPO 在前期倾向以更高的概率进行D 向分割，以实现对空间更为充分搜索；
在后期，NYYPO 又逐渐将D 向分割概率降低到设定的最小值，以提高后期搜索的稳定性。NYYPO 也更为契合YYPO 算法的基本设计原理，即在前期，更注重全局搜索，在中后期，更注重局部搜索［8］。
2.2 混沌扰动策略
随着算法迭代次数的不断增加，算法寻优逐渐趋于收敛，一旦陷入局部最优便难以跳出。徐辰华等［24］指出在算法更新中加入扰动机制可以有效提升算法跳出局部最优的能力。对于扰动策略，在以往的一些优化算法中有所研究，胡宏梅等［25］提出采用随机概率扰动方式改进基本粒子群算法，但不具有遍历性；
龙文等［26］提出的混沌扰动策略，相较于胡宏梅等［25］提出的扰动策略，混沌扰动策略利用混沌序列的遍历性、规律性和随机性对当前最优个体进行混沌扰动，可使算法跳出局部最优，从而提高算法的全局搜索能力和求解精度。受龙文等工作的启发，本文提出在YYPO-SA1的分割阶段使用混沌扰动策略，以提高算法跳出局部最优的能力。混沌是非线性确定系统中由于内在随机性而产生的一种复杂的动力学行为，具有随机性规律性和遍历性等特点。目前常用的混沌序列是logistic 映射和tent 映射。岳龙飞等［27］发现tent 混沌映射在遍历性、均匀性和迭代速度方面比logistic 混沌映射具有更大优势。tent 混沌映射公式如下：
其中点P是经过tent 混沌映射的点。本文使用的混沌扰动策略是基于tent 混沌映射，其具体的公式如下：
其中：.*为点乘运算符；
P"为扰动后的解；
Pn是经过n次混沌映射后的混沌点；
P*为当前算法最优解；
τ为扰动强度，其值在区间［0，1］，其具体计算公式如下：
其中：D是问题的优化维度，n是当前最优点进行混沌映射的迭代次数。对扰动后的算法最优解更新公式如下：
其中f(P"(t))和f(P*(t))分别表示第t次迭代中的扰动更新点的适应度值和未扰动的分割最优点的适应度值。NYYPO算法的主要步骤如下：
步骤1 对两点P1、P2 进行随机初始化。
步骤2 计算初始化两点P1、P2 的适应度值。
步骤3 若点P2 的适应度值优于点P1 的适应度值，交换两点的位置和搜索半径。
步骤4 根据式（5）增大P1、P2 两点D 向分割的更新概率，在两点交换过程中加入模拟退火算法。
步骤5 接受更新后的P1、P2 两点的结果，根据模拟退火算法的概率决定是否不交换两点位置。
步骤6 根据混沌扰动策略对当前最优解进行混沌扰动。
步骤7 若分割更新次数等于存档次数进入存档阶段，否则转步骤4。
步骤8 若满足算法终止条件输出算法最优解，否则转步骤3。
2.3 时间复杂度分析
本文使用符号O来表示时间复杂度的渐进上界。和原YYPO 算法相同，NYYPO 算法迭代的时间复杂度也与求解问题的维度D直接相关。在NYYPO 初始化阶段，其对P1 和P2两点进行赋值时间复杂度为O(2D)。初始化后，算法进入第一次存档后便进行分割阶段，因为牛顿衰减方式仅控制更新的概率不更改分割方式，所以其分割方式与YYPO 是相同的。由于单向与D 向分割的分割方式不同，此处对两种分割方式进行分别分析。单向分割时，P1 和P2 两点分别复制2D个附加点进行探索更新，单向分割的时间复杂度为O(D)。在D 向分割中，P1 和P2 同样生成2D个点，然后再生成一个二进制矩阵B，D 向分割的时间复杂度为O(D)。适应度值评估阶段，对所有的点进行缩放，所以时间复杂度为O(2D*D)=O(D2)。算法扰动并适应度评估的时间复杂度为O(D2)，在评估适应度值之后，算法使用模拟退火算法进行两点交换操作，该操作也仅与维度D有关，所以交换时间复杂度为O(D)。如果到达存档数I，则存档阶段时间复杂度为O(I)。算法时间复杂度最坏情况是D 向分割且触发存档I=Imax，NYYPO 每次迭代最坏情况下的时间复杂度为O(D2)。
3.1 实验设计
为了验证NYYPO 算法的有效性，本文从2013 年IEEE 进化计算大会中举行的单目标实参算法竞赛所使用的28 个测试函数中选择了15 个代表性的测试函数作为实验的性能基准函数。在判断随机搜索算法的性能优劣时往往使用单峰函数来考察一个算法的局部搜索能力，多峰函数考察其全局搜索能力，复合函数用于考察其处理复杂问题的能力［19］。各测试函数的参数取值范围统一设置为［-100，100］。各测试函数名称以及理论最优解见表1。
表1 测试函数Tab.1 Test functions
本文实验选取了YYPO-SA1 以及其他6 个具有代表性的高性能单目标算法：乌鸦搜索算法（CSA）、粒子群优化（PSO）算法、灰狼优化算法（GWO）、鲸鱼优化算法（WOA）、花授粉算法（FPA）、麻雀搜索算法（SSA）与NYYPO 作性能比较。为了减小参数不同引起的差异，NYYPO 和YYPO-SA1 的3 个用户自定义参数（Imax，Imin，α）的设置都参考YYPO 原算法中的设置。关于NYYPO 中的模拟退火温度及其控制的相关参数参考文献［16］中使用的设置。由于参数m控制模拟退火机制中温度降低的速率，所以其对于算法整体性能的影响相对较大。为了进一步验证算法的有效性，在后继的实验中还分别测试了m取值为5 和30 的情况。为了方便表示m不同取值下的实验结果，在后继的图表中使用NYYPO1 和NYYPO2表示m取值为5 和30 的实验结果。其他参数设置与NYYPO相同。PSO、CSA、WOA、SSA、FPA 都是按照原文献中使用的参数进行设置，并且种群数目统一设置为30。对于GWO，则根据其算法性质将种群数目设置为10。
3.2 实验结果分析
表2～4 分别给出了各参与测试的算法对于15 个测试函数在10 维、30 维、50 维的测试的结果。表中的最后3 行中的Count 表示排名为第一的总次数，Ave Rank 表示平均排名情况，Total Rank 表示基于Ave Rank 排序的总排名情况，最优者用加粗表示。
表2 维度为10时算法在15个测试函数上的实验结果Tab.2 Experimental results of algorithms on 15 test functions with 10-dimension
从表2 中可以看出，NYYPO 系列算法（包含NYYPO1 和NYYPO2）在10 维的15 个测试函数上10 次排名第一，其中：4个单峰函数1 次排名第一，6 个多峰函数6 次排名第一，5 个组合函数3 次排名第一。NYYPO 的Ave Rank 值是2.87，NYYPO1 和NYYPO2 的Ave Rank 值均是3.6，而YYPO-SA1的Ave Rank 值仅有5.93，这表明在10 维的各测试函数上，NYYPO 的总体搜索能力相比YYPO-SA1 已有显著性的提升，并且NYYPO 总体搜索能力也强于其他的6 个算法。在NYYPO 系列算法中NYYPO 两次排名第一，略优于NYYPO1和NYYPO2。
NYYPO 系列算法在6 个多峰函数上6 次排名第一，5 个组合函数3 次排名第一，这个事实表明NYYPO 系列算法采用的改进措施显著地提升了原YYPO-SA1 算法在10 维的15个测试函数上的跳出局部最优的能力。特别是在多峰的测试函数上，NYYPO 系列均排名第一，而YYPO-SA1 算法排名远弱于NYYPO 系列算法，在NYYPO 系列算法中NYYPO 算法4 次排名第一，这也证明了退火次数参数m设置的合理性。
从表2 中也能看出，NYYPO 系列算法在单峰函数上仅在f1上取得一次最优，但总体上排名仍然要好于YYPO-SA1 在这些单峰函数上的排名。这表明NYYPO 采用的改进策略对于相对简单的单峰函数仍然有效。
从表3 中可以看出，当15 个测试函数的维数为30 时，NYYPO 总体的表现仍然优异。总计有9 次排名第一，其中：4 个单峰函数3 次排名第一，6 个多峰函数4 次排名第一，5 个组合函数2 次排名第一。NYYPO 的Ave rank 值为2.0，综合排名为第一，NYYPO1 和NYYPO2 的Ave Rank 值分别为2.27和2.40，而YYPO-SA1 的Ave rank 值为3.93，落后于NYYPO系列算法。这表明在30 维的各测试函数上，NYYPO 系列算法的总体搜索能力相比YYPO-SA1 也能获得显著性的提升。这个事实也进一步表明了使用牛顿衰减策略调节D 向分割概率的有效性，在NYYPO 系列算法中NYYPO 算法也要略强于NYYPO1 和NYYPO2，仅在多峰函数f6和f7落后于NYYPO1和NYYPO2，NYYPO 在30 维度的6 个多峰函数4 次排名第一，5 个组合函数2 次排名第一，表明，随着维度的提高，NYYPO 算法在多峰和复杂的组合函数上仍然能够保持着良好的性能。
表3 维度为30时算法在15个测试函数上的实验结果Tab.3 Experimental results of algorithms on 15 test functions with 30-dimension
表4 列出的是各算法在50 维测试函数上的测试结果。NYYPO 系列算法在15 个测试函数上取得14 次最优，14 次最优中NYYPO 算法7 次排名第一，优于NYYPO1 和NYYPO2，NYYPO 在4 个单峰函数3 次排名第一，6 个多峰函数3 次排名第一，5 个组合函数中表现略差于NYYPO1 排名第2 但总体性能依旧优于NYYPO1、NYYPO2 和YYPOSA1。实验结果表明，随着测试函数维数的提升，NYYPO 在多峰函数和组合函数上的性能保持稳定，其在单峰函数上的性能也得到了显著提升；
同时，NYYPO 的Ave rank 值为1.93，仍排名第一，NYYPO1 和NYYPO2 的Ave Rank 值分别为2.13 和2.53，而YYPO-SA1 的Ave rank 值为3.73。这表明NYYPO 在高维的测试函数上仍能保持较为稳定的优化性能。
表4 维度为50时算法在15个测试函数上的实验结果Tab.4 Experimental results of algorithms on 15 test functions with 50-dimension
如表4 所示，NYYPO 在6 个多峰函数3 次排名第一，5 个组合函数表现略差于NYYPO1，在多峰函数f7和组合函数f14上也只是稍逊于YYPO-SA1 和NYYPO1。这表明NYYPO 在存在多个局部最优的测试函数上，仍保持了一定的性能优势；
另一方面，NYYPO 在单峰函数上多数占优的原因可能是随着测试函数的维数急速增大，增大算法的随机性有助于其更快速地寻找测试函数的唯一最优点。
3.3 Friedman检验
为进一步验证新算法NYYPO 的有效性，文本基于上述的实验数据，应用Friedman 检验［19］从统计学角度检验NYYPO 算法优势的显著性。Friedman 检验是一种非参数双向方差分析的检验方法，功能是用来检测几组数据之间是否存在显著性差异，常用来检测优化算法的结果的优劣。Friedman 检验的原理是在统计意义上假设检验样本之间无显著差异，然后依据检验结果来判断是否拒绝原假设，以检验算法的优劣和在置信区间内是否存在显著差异。
Friedman 检验的计算步骤分为以下3 步：
1）把每个算法的数据结果收集起来。
2）对于每个问题i的最好结果与最坏结果列出排名，定义为(1 ≤j≤e)，e代表的是每个问题i的最坏结果排名。
3）在所有问题中求出每个算法的平均排名，得到最后排名Rj=(1/g)检验结果中的秩的均值越小表明该算法性能就越好。
在一开始零假设下认为所有算法的行为没有显著性差异（排名秩相等），Friedman 统计值计算公式如式（10）所示：
Ff的值越小，各算法之间的差异的显著性水平越高。当g和e足够大时（根据经验g＞10，e＞5），它是服从e-1 自由度的χ2分布的。
依据表2～4 中的实验数据，对NYYPO 和参与实验的其他算法分别进行Friedman 检验。检验结果如表5 所示，其中表中的P-value 值即是式（10）的计算结果Ff，表中其他的值是各算法的平均排名秩Rj。
从表5 中可以看出NYYPO 在维度10 维、30 维、50 维的15 个测试函数上，通过Friedman 检验获得的渐进显著性Pvalue 值均远远小于0.01，并且维度越高差异性越大。这主要是由于对比算法随着维度的提升而精度下降。这个事实表明本文提出的新算法NYYPO 的寻优性能相比参与评测的其他算法在统计学意义下有显著的优势。
表5 Friedman检验结果Tab.5 Results of Friedman test
3.4 收敛情况的分析
为了验证NYYPO 的收敛性能，图2～4 分别给出了NYYPO、NYYPO1、NYYPO2 与YYPO-SA1、WOA、PSO、CSA、GWO、SSA、FPA 在50 维上有代表性的8 个测试函数上的收敛曲线。
从图2 中可以看出，NYYPO、NYYPO1 和NYYPO2 的收敛精度要高于其他对比算法。在单峰测试函数上，NYYPO、NYYPO1 和NYYPO2 无论是平均收敛精度和收敛速度都要优于YYPO-SA1。在测试函数f1上，NYYPO 系列算法和YYPO-SA1 的收敛精度相差特别小。在f2测试函数上NYYPO 系列算法都是在迭代次数大约为1 300 次时，已经找到函数的最优值。这个结果可能和4 个单峰函数的具体形式有关。
图2 收敛曲线（单峰函数）Fig.2 Convergence curves（unimodal functions）
图3 显示的是各参评算法在4 个50 维的多峰测试函数上伴随迭代次数的收敛图。相较于单峰函数，4 个多峰函数都具有较多的局部最优点。可以观察到，在50 维4 个多峰测试函数上达到最高的平均收敛精度，并且在f5和f6上，其平均收敛精度明显优于其他对比算法。同时，也可以明显地看出，NYYPO 算法在大部分多峰函数上的收敛速度要快于其他算法。这表明，对于高维度的多峰函数，NYYPO 算法也可以在较少的迭代次数下快速找到接近函数的理论最优值的解。
图3 收敛曲线（多峰函数）Fig.3 Convergence curves（multimodal functions）
图4 显示的是各参评算法在2 个50 维的组合测试函数上伴随迭代次数的收敛图。组合函数和多峰函数类似，又存在较多的局部最优点，但组合函数的全局最优和局部最优点的分布通常要比多峰函数更为复杂。
从图4 可以观察到，在50 维的测试函数上，NYYPO 要略差于NYYPO1 和NYYPO2，优于YYPOSA1 算法。这表明NYYPO 可以对复杂目标函数进行有效快速搜索的单目标优化算法。
图4 收敛曲线（组合函数）Fig.4 Convergence curves（composition functions）
根据以上分析，NYYPO 算法可以在50 维的测试函数上多次获得更高的平均收敛精度，并且其和NYYPO1、NYYPO2也在大多数测试函数上具有更快的收敛速度要优于YYPOSA1 算法。这表明NYYPO 是一种高效的单目标优化算法，并且NYYPO 算法对于YYPOSA1 的改进措施是有效的。
能源需求的快速增长和化石燃料的快速消耗导致世界能源发展逐渐转向可再生能源。在各种可再生能源中，风能正迅速发展，据统计，至2018 年，全球的风电总装机容量已达591 GW［13］。
与传统能源技术相比，风能具有较高的发电成本；
因此，有必要进一步降低风能的成本，使其更具竞争力。风力发电机的设计目标是通过优化风力发电机组参数来提高风力发电机的性能，并降低生产成本。随着海拔的升高，空气密度和气压发生变化，其对风力发电机成本和生产率的影响不容忽视，具体表现为成本增加，生产率降低，导致能源成本增加。为了使经济效益最大化，可以选择不同的技术经济模型来分析风电场的投资和建设可行性，其中COE（Cost Of Energy）是最常用的评价指标。COE是指每生产1 KWh 电能的成本，包括年能源生产成本和年能源产量。目前，风力发电机组优化设计中广泛使用的COE模型主要来自“国家可再生能源实验室风力发电机组设计成本和比例模型”的研究成果［28］。
该模型由两部分组成：年生产成本（Annual Production Cost，APC）和年发电量（Annual Energy Production，AEP）。COE可由年生产成本与年发电量的比值得到，如式（11）所示：
本文使用参考文献［13］中关于高海拔风力发电机的设计参数优化模型进行实验，该模型具体的表达式如式（12）所示：
其中：R是风力发电机轮廓转子的半径，ρ是空气密度，H是风力发电机轮廓的高度，Vc是让风力发电机工作的最小风速，Vr是风力发电机达到额定功率发电的额定风速，Vf是风力发电机工作的最大风速，超过最大风速发电机会停止发电，Pr是风力发电机的额定功率，halt是发电机所在的海拔高度。
因为制作工艺对于轮廓转子半径R和轮廓转子高度H和额定功率Pr有着一定的约束关系，所以为了满足结构约束，轮毂高度设定为转子半径的1.5～3 倍，额定功率设定为转子半径的20～40 倍［29］。为了公式化这个优化问题，适应度函数和结构约束如式（13）所示：
本文实验的参数设置半径R的范围为20～50 m，高度H的范围为10～150 m，功率Pr范围为100～3 000 kW，工作最小风速Vc和最大风速Vf分别为3 m/s 和25 m/s。使用风机优化的原文献［13］中提出的3D-YYPO 算法与NYYPO 算法分别对于海拔高度为2 000 m、3 000 m、4 000 m 的三种情况来优化的风机的3 个参数：轮廓转子的半径R、轮廓转子高度H、额定功率Pr来获得更小的COE。3D-YYPO 的参数参考文献［13］进行设置。NYYPO 的参数与前述实验使用的设置相同不同海拔高度下两种优化算法得到的风机最优参数如表6 所示。NYYPO 获得的最小COE 值和相应的参数要优于3D-YYPO。当高度从2 000 m 增加到4 000 m 时，转子半径R有着些许减小，轮毂高度从61.672 0 m 变化到60.574 5 m，额定功率从0.411 5 MW 变化到0.421 9 MW，COE 从0.016 639 3 kWh 增加到0.021 218 kWh。随着海拔高度的升高平均每千瓦时发电量的成本在增加，原因主要是海拔升高空气密度变小，以及维护的成本增加。从表6 中的COE 值来看，NYYPO 要明显优于3D-YYPO。
表6 不同海拔高度下算法优化得到的最优结果Tab.6 Optimal results achieved by algorithms at different altitudes
本文提出的NYYPO 是YYPO-SA1 的改进算法。其使用基于牛顿衰减的D向分割概率自适应调节机制，提高了全局搜索能力。基于15 个测试函数上的测试结果，并应用Friedman 检验，可以看出，NYYPO 在统计学意义上优于YYPO-SA1，并显著优于其他参与评测的6 个算法。在高海拔风力发电机的设计参数优问题上，NYYPO 也能获得优于3D-YYPO 的优化性能。NYYPO 算法依旧存在着一定的不足，在10 维情况下单峰函数表现较差，在50 维情况下的组合函数仅一次最优，这表明，NYYPO 的全局搜索能力还有待加强。
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