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◇长江大学机械工程学院 张新红 伊亚辉 冯超 夏成宇 侯作富
求解超静定梁问题一直较为困难，而对承受轴向载荷的超静定梁进行求解更是困难。为了对承受轴向载荷的超静定梁进行求解，建立承受轴向载荷的梁弯曲力学模型，得出了含有轴向载荷的4阶导数挠曲线微分方程。依据梁的边界条件和连续性条件，采用特征根法和微分算子法求得了梁的挠度方程。基于本文建立的挠度方程，研究在轴向载荷的作用下梁所发生弯曲变形的规律，研究表明轴向载荷对梁弯曲变形的影响无法忽略，轴向压力会增加梁的挠度，轴向拉力与之相反，且随着轴向载荷逐渐变大，作用效果越明显。本文建立挠度方程方法简单，能较好的解决在复杂载荷作用下的超静定梁问题，同时得出的解析解比数值解更加精确。
在材料力学等诸多力学学科中，对超静定梁问题进行求解一直都是较为复杂与困难的。根据常规力学知识进行求解需要判断超静定问题的静不定次数、将梁的多余约束去除以及建立梁弯曲变形的协调方程等[1-3]，其计算量大，计算过程较为复杂，出错率较高，因此国内外的许多专家学者提出了多种方法来求解超静定梁的弯曲问题，但是有限单元法[4]、有限差分法[5]只能得到近似的数值解，不能得到超静定问题的解析解；
为了得到更为准确的解析解，提出了分段独立一体化积分法[6-8]。
该方法能够用于变刚度梁的求解；
函数法[9]可以很简捷地获得整根梁的挠度方程；
李学军，朱萍玉等[10]提出了一种求解超静定梁在复杂载荷作用下的通用矩阵。该方法可以解决梁的变刚度问题。综合国内外专家学者提出的方法，发现轴向载荷对梁弯曲变形影响的研究几乎没有，但是在真实工作中，轴向载荷对梁发生弯曲变形的影响十分重要，不可忽略。为了解决这一问题，本文建立一种承受轴向载荷的梁弯曲力学模型，从该模型出发，推导出了含有轴向载荷的4阶导数挠曲线微分方程，通过微分算子法[11]，得到了梁的挠度的解析方程，进一步得到梁的转角、弯矩和剪力的解析方程。该方法易于程序化用计算机计算，快速准确，通用性强，并且可以比较方便的解决分段变刚度梁在复杂载荷作用下的超静定问题。利用该方法研究不同轴向载荷对梁弯曲变形的影响，发现轴向载荷越大，其对梁弯曲变形的影响越大。当为轴向压力时，轴向压力增大会引起梁的剪力最大值、弯矩最大值、转角最大值以及挠度最大值都增大；
当为轴向拉力时，其影响与轴向压力相反。
图1为梁的受力图，在梁上任意位置处取长度为dx 的一段梁作为微元段，力学模型如图2所示。
图1 受力图
图2 力学模型
竖直方向力平衡：
再对上式求二阶导得：
（1）式（6）对应的齐次方程为：
其特征方程为：
方程（7）的通解 的形式如表1所示：
表1 方程（7）的通解
故方程（7）的通解为：
故方程（7）的通解为：
式（11）的特解采用微分算子法，为此引进记号：
于是，式（11）化为：
因此，式（11）的通解为：
特别的，若梁承受均布载荷，则：
易得其通解为：
特别的，若梁承受均布载荷，则：
（2）根据梁的边界条件，每种情况可以列出4个约束方程：
若梁在计算时需要分段，根据梁的连续性条件，即可解出每段方程的系数。
求解图3所示例题，该梁左端固定，在距左端2L和3L处铰支，左边2L分段的惯性矩为I1，右边L分段的惯性矩为I2，在L至2L部分作用有均布载荷q，在距右端处作用有集中力Fn，在梁的右端承受轴向力F，已知L、E、q。作出剪力图、弯矩图、转角图和挠度图。
图3 载荷图
利用本文方法的求解步骤为：
若轴向力为0，则各段的挠度方程为：
第2步：根据梁的边界条件和连续性条件，列出如下方程：
第4步：分别取k=0、2、4、6带入表达式中，研究梁在受压状态下轴向压力对梁弯曲变形的影响。再取k=0、-2、-4、-6，研究梁在受拉状态下轴向拉力对梁弯曲变形的影响。从图4a～图4d中可以看出轴向压力对梁弯曲变形的影响，从图4e～图4h中可以看出轴向拉力的影响。根据结果可知，当为轴向压力时，轴向压力增大会引起梁的剪力最大值、弯矩最大值、转角最大值以及挠度最大值都增大，并且其增大的速率越来越快；
当为轴向拉力时，轴向压力增大会引起梁的剪力最大值、弯矩最大值、转角最大值以及挠度最大值都减小，但是其减小的速率越来越慢。
图4a 挠度图
图4b 转角图
图4c 弯矩图
图4d 剪力图
图4e 挠度图
图4f 转角图
图4g 弯矩图
图4h 剪力图
本文建立了含有轴向力的梁弯曲变形的力学模型，从该模型出发，推导出了梁弯曲变形的挠度方程的解析表达式，从而得到了转角、弯矩、剪力的解析表达式。该方法求解过程简单，得到的解析解比数值解更加精确。
利用本文的分析方法能够充分的研究轴向载荷作用下分段变刚度超静定梁问题，并得出其挠度变化图、转角变化图、弯矩图以及剪力图，结果表明在轴向力为压力时，随着轴向力的增大，梁的弯曲变形也随之增大，并且其增大的速率越来越快；
在轴向力为拉力时，随着轴向力的增大，梁的弯曲变形随之减小，但是其减小的速率越来越慢。
本文提出的新的分析方法精度高、通用性强，能较为简便的解决分段变刚度梁以及复杂载荷综合作用的超静定梁问题。在材料力学、工程力学等学科的计算中，具有指导意义，在工程问题中，该方法也有重要的理论意义和实用价值。
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