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沈心媛 高雪芬
(1.绍兴文理学院数理信息学院，312000) (2.浙江理工大学理学院，310018)
本文选取人教版高中数学教材与牛津大学于2020年出版的IBDP国际预科证书课程International Baccalaurente Diploma Programme的编写)版数学教材(以下简称IB教材)为研究对象,重点剖析“向量”部分,从引入方式、内容结构、呈现方式以及例习题难度等方面进行比较,以期对教材修订提供参考.
1. 引入方式的比较
数学概念是数学的基础,也是数学教学最重要的内容之一.人教版教材在每章开头没有给出该章学习目标和相应知识点.在向量的概念引入方面,人教版教材结合物理知识引入,如位移、力、浮力等,如图1所示,将这种既有大小、又有方向的量定义为向量,还采用批注的形式加以解释,赋予向量具体的生活背景,同时图形的结合便于学生直观理解和掌握.
IB教材每章节开头都给出本章需要学习掌握的概念、知识点,让学生第一眼就知道该章内容学习的方向[1].例如,在第九章“三维空间建模矢量”中,在开头给出需要掌握的概念:空间和立体,以及相应需要掌握的知识点:用有向线段表示向量、位置向量、方向向量等.在向量的概念引入方面，则是通过纯文字化的四个问题引入线段,利用线段的两个端点位置引入有向线段的概念,并结合示例和思考题,将所有等价的有向线段的集合称之为向量,概念引入不够通俗易懂,不利于学生直观理解.
2. 内容结构的比较
(1)内容选取大致相同
数学教材中的内容选取及编排顺序对学生理解和应用知识体系意义颇深[2].在内容选取方面,两套教材学习顺序都是按照向量的基本定义、向量的加减法、数量积和向量积、向量的应用的顺序进行的,都包括相等、共线向量,向量的坐标表示及运算,向量的模、夹角等内容(如表1，表2).但在“空间向量”方面,人教版选修2-1还需要掌握常见平面等距变换及其矩阵表示,理解空间的等距变换:平面反射、平移和旋转,内容划分更具体,结构更具有系统化,对学生的几何代数学习提出更高层次的学习.
表1 人教版教材空间向量内容目录
表2 IB教材空间向量内容目录
(2)内容编排顺序不同
在内容编排顺序方面,人教版和IB教材都是按照循序渐进的原则,先给出“平面向量”的内容,再引入三维空间结构.如图2所示,通过类比将“平面向量”的概念、运算及处理问题的方法迁移到“空间向量与立体几何”,先产生直观上的理解,再推广到n维.学生将体会到向量方法在几何中的运用,可以用向量语言来表述线线、线面、面面的平行、垂直关系,能够用向量方法证明有关线面关系的一些定理和解决线线、线面、面面的夹角的计算问题,进一步发展空间想象能力和几何直观能力[3].
但是,从表1，表2来看,人教版教材“向量”部分为两个学期学习.第一个学期,先学习必修4“平面向量”的内容,通过二维坐标系中“点的移动”定义向量,学习平面向量的基本定理、基本运算；
再在第二个学期学习选修2-1中“空间向量”的内容,知识点大致相同,但是空间维数增加,着重学习向量法在空间几何中的应用(图2).而IB教材则是先引出一个知识点,然后同时介绍“平面向量”和“空间向量”的应用,“空间向量”并未单独成章.例如,在学习向量的数量积公式时,同时给出二维数量积公式a·b=a1b1+a2b2和三维数量积公式a·b=a1b1+a2b2+a3b3,然后逐一安排例题应用以上公式.
3.呈现方式的比较
在知识呈现方面,两套教材都有各自相对固定的知识呈现结构和顺序,且都比较重视灵活性和多样性.人教版教材是按照知识建构、例题分析、练习的形式的顺序依次出现,中间偶尔穿插探究性活动,并且有专门的版面对数学思想方法进行归纳总结.IB教材按照知识建构、问题引入、例题分析、知识生成、课后练习的形式出现,整节课围绕问题探究进行.
提示(Hint)和问题链接作为IB教材的特有内容出现在栏目设置上.如图3所示，例如在9.1“向量的几何表示”中,提示解释“≌”是等价的含义,并罗列该符号的三种性质,在9.3“数量积及其性质”中,问题链接提出两个与知识点相关的问题:为什么这样定义数量积的公式?同一个定理的不同证明方式是否同样有效?有的问题链接则含有问题的背景、数学家的名言、数学发展中的著名问题等等.这样把各个领域的知识联系起来,使学生在学习数学文化的同时学习知识的本质,加深学生对所学知识的理解,起到提升的作用,具有良好的亲和力、启发性.
在每章的小结部分,人教版教材主要是采用概念图、图表或文字叙述的形式,一般为两页篇幅.以人教版数学教材选修2-1第三章“空间向量与立体几何”部分为例,其小结部分归纳为本章知识结构框架、回顾与思考及知识链接逻辑框图等三部分.其中本章“知识结构框架”以逻辑思维图的形式对本章内容进行总结,有利于学生对知识进行梳理以及从整体上把握本章的知识内容;“回顾与思考”对本章重点知识进行复习回顾并提出相关思考问题,加深学生对重点知识的认识以及对本章知识的掌握;“知识链接逻辑框图”将本章的知识内容与其他知识联系起来,帮助学生利用数学思想方法形成知识网络,加强各学科间的联系.而IB教材没有小结的呈现.
4.例题、习题的比较
数学知识的学习是一个由浅入深、循序渐进的过程,各个阶段不同难度、类型的题目设置可以帮助学生掌握和内化知识.如图4所示,分别对人教版教材和IB教材向量部分的例习题数量进行总结和归纳:
从图4可以看出,人教版教材中向量部分例习题总数远高于IB教材.人教版教材的问题类型丰富,数量较多,更注重学生在习题的练习中理解和掌握知识.而IB教材设置的例题较多,练习题较少,在训练学生知识技能获得方面效果偏弱.
表3 人教版教材和IB教材向量部分例题难度比较
根据表4，两套教材的数学题综合难度五边形,如图5.
由图5可知,两版本教材向量部分的例题在五个难度因素上各有差异,具体分析过程略.
1. 加强数学知识的拓展与现实联系
弗莱登塔尔指出:数学学习要关注数学的现实化[5].总体上看,两版本教材的选材与现实生活的联系较少,数学题的背景因素和应用性常常被忽略,例、习题基本上都是纯数学问题,较少有生活情境.其次,IB教材注重知识的链接与拓展,使学生在学习数学文化的同时学习知识的本质,加强知识的灵活性.人教版教材应该强调数学与现实生活的联系,帮助学生学会“有用的数学”,同时注重知识的延伸,学生解决实际生活中的数学问题,体会数学与其他知识的交叉与联系,才能逐步形成和发展数学应用意识.
2.强化知识体系的完整性
人教版教材“平面向量”和“空间向量”分为两个学期学习.而IB教材同时介绍这两块内容.这两块内容用到的知识点的本质是相同的,仅仅是空间维度的不同.IB教材这种编排方式即保证知识体系的完整性,更在一定程度上避免间断性学习导致的知识的遗忘,加深学生的印象.这种编排方式可以给人教版教材提供参考.
3.合理设置例、习题的难度
例、习题可以帮助学生掌握和内化知识,搭建知识间的桥梁,使学生通过主动探索达到新旧知识的顺利过渡.如果难度过小,学生容易产生轻视的心理,无法起到巩固知识的作用,如果难度过大,学生容易产生畏惧心理,不利于进一步的学习.通过研究发现,人教版教材部分习题难度大,综合性强,而IB教材以基础题为主、中档题为辅,降低了每一题的综合性,有利于学生学习和掌握.因此,人教版教材在例习题的设置上既要考虑能否起到知识巩固的效果,又要考虑学生的最近发展区.
4.加强数学学习与信息技术相结合
数学课程标准中提到“恰当运用现代信息技术,提高教学质量”.随着互联网、计算机辅助计算、计算机绘制几何图形的快速发展,学生的学习方式呈现多样化趋势.可以借助信息技术工具学习有关数学内容,如三维空间向量在头脑中较难直接建构,借助信息技术后学生可以进行直接观察,拉近课堂与学生之间的距离,同时还可以激发学生的好奇心和兴趣,提高分析和解决数学问题的能力,从而探索、研究一些有意义、有价值的数学问题.在这方面,人教版教材和IB教材都可以借鉴.
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