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郭树敏，李甘民，徐子豪
（1.韶关学院 数学与统计学院，广东 韶关 512005；
2.河南理工大学 数学与计算科学学院，河南 焦作 454003）
近十年来，全球时有新型的传染病出现，对人类的生存和发展产生了严重的影响［1-4］.为了更好地遏制病毒的传播，常见的应对方法之一就是研制疫苗［5-7］.因此，掌握疫苗接种后传染病的传播规律，对寻找更有效的控制策略具有现实意义.目前已有专家用数学模型来分析其传播动力学.其中文献［8］分析了2020年1月29日之前的新型冠状病毒数据，并估计了每日的有效传染率，预测了当感染率低于1时，疾病的传播规律，以及流行病何时会达到高峰；
文献［9］采用同伦分析变换的方法，研究了新冠疫情的部分病例数据来参数化模型，在卡普托衍生物的框架内建立了系列解.但是这些研究所用的数据已经滞后，而且均未考虑注射疫苗对疫情传播的影响，根据疫情最新情况建立前瞻性的疫情动态模型将有助于更好地了解和控制其传播.
笔者建立并分析了基于隔离和疫苗接种的传染病的数学模型.主要内容安排如下：第1节建立模型，第2节讨论模型论平衡点的局部和全局稳定性，第3节用最优控制进行分析，最后对结果进行了详细的分析并给出结论.
通过分析近年来出现的新型传染病的传播特性和病例特征，可知一旦有新型传染病出现，人群中除了极少部分人能够自主产生天然免疫力，大部分人会被病毒感染.且感染病毒后通常不会立即发病，会有几天的潜伏期，在此期间染病者也有一定概率会产生免疫力. 而染病者发病后也未必立即就有染病的症状，通常无症状状态会持续几天时间. 注射疫苗可以让人产生对新型病毒的免疫力，但疫苗也有一定的免疫失败几率. 根据新型流行病的传播特性，结合已发表关于疫苗注射的传染病模型的文献［10］和文献［11］，笔者构造了一个SEAIVR模型：设S（t）表示易感者的数量，E（t）表示潜伏者的数量，A（t）表示无症状感染者的数量，I（t）表示已发病的染病者的数量，V（t）表示接种疫苗者的数量，R（t）表示移出者的数量基于上述假设，模型中各个参数的含义分别为：δ为人口出生率；
π为未接种或未免疫的新生儿；
β为接触率；
k为发病的感染者比无症状感染者传染性增强的比率；
ξ为已注射疫苗但并未产生免疫力的比率；
v1为易感个体自主产生免疫力的比率；
μ为自然死亡率；
σ为无症状感染者的恢复率；
γ为潜伏者转移为无症状感染者的比率；
v2为潜伏者的康复率；
α为无症状感染者发病的比率；
v3为接种个体产生免疫的比率.系
统公式为：
系统（1）满足初始条件：S（0）＞0，E（0）＞0，A（0）＞0，I（0）＞0，V（0）＞0，R（0）＞0，系统有无病平衡点X0=（S0，0，0，0，V0，0），其中：.
由文献［12］可得系统（1）的基本再生数为：
当病毒在人群中传播时，系统有地方病平衡点X*=（S*，E*，A*，I*，V*，R*），其中：
显然S*＞0，E*＞0，A*＞0，I*＞0，V*＞0，R*＞0.由于0≤N≤δ/μ，因此A*＞0.而且A*满足：
其中：m1=γβσ（μ+kα）-β（γ+μ+v2）（μ+kα）（α+μ+σ）＜0，μ（v1+μ）（γ+v2+μ）（α+μ+σ）（ξ+μ+v3）.
当R0＞1且γ＞μ时，系数m2＞0，容易得出定理1.
定理1当R0＞1且γ＞μ时，方程（3）有正根，系统（1）有唯一的地方病平衡点.
笔者接着讨论无病平衡点的局部和全局渐近稳定性.系统（1）的Jacobian矩阵为：
则在X0对应的特征方程为：
显然，λ=-μ，λ=-（v1+μ），λ=-（ξ+μ+v3）特征根为负.由Routh-Hurtwiz判据，方程（5）的第四项系数需要满足a1＞0，a3＞0，a1a2-a3＞0，则所得特征值有负实部.通过分析表达式，可得当R0＜1且γ＜μ时，有a3＞0成立，则有：
其中：m=γ+v2+μ，n=μ+α+σ.当R0＜1且γ＜μ时，式（6）为正，特征方程（5）的特征值有负实部，无病平衡点局部渐近稳定.下面由文献［13］的方法分析无病平衡点的全局渐近稳定性，系统（1）可写为：
其中X=（S，V，R），Z=（E，A，I）.X∈R3和Z∈R3分别表示未感染的和已感染的人类数量.无病平衡点表示为Q0=（X0，0），X0=（S0，V0）.
（H1）和（H2）必须满足条件才能保证全局渐近稳定：（H1）：对于=F（X，0）=0，X0是全局渐近稳定 的；
，其 中B=DZG（X0，0）是M矩 阵（B的非对角元素是非负的），Ω是模型具有生物学意义的区域.因此，引理1成立：
引理1当模型（1）满足条件R0＜1，并满足假设（H1）和（H2），则点Q0=（X0，0）是全局渐近稳定的.
定理2当R0＜1且γ＜μ时，无病平衡点是全局渐近稳定的.
证当X=（S，V，R），Z=（E，A，I），Q0=（X0，0）其中X0=（S0，V0）.则有：
若S（t）=S0，V（t）=V0，F（X，0）=0，则：.当t→∞，X→X0
时，X0=（S0，V0）是全局渐近稳定性.且：
将控制变量应用于模型（1）.控制变量u1代表个体的预防意识，u2代表接种，θ代表易感者接种疫苗.目标是减少易感者、潜伏者的总人数，并最大限度地增加康复和接种疫苗的人数.为此，给出了目标函数：
且满足：
在目标函数（8）中，S（t），E（t），A（t），I（t）是状态变量.u1（t），u2（t）表示控制变量.平衡系数为C1，C2，C3和C4，分别用于保持易感者、潜伏者、无症状感染者和有症状性感染者在目标函数上的平衡，B1和B2分别是控制变量u1和u2的权重约束.目的是找到控制变量，使：
因此控制变量为：Γ=｛J（u1，u2）|u1，u2为可量化的，0≤u1≤1，0≤u2≤1｝.
接下来，通过考虑系统（9）在t=0时具有的初始条件来研究最优控制问题的存在性.首先，需要为模型控制模型（9）和（10）找到 Lagrangian L和Hamiltonian H.将控制问题的L定义为：L（S，E，A，I，u1，.为了求Lagrangian的最小值，定义了控制问题H，即：
其中g11，g12，g21，g22为惩罚乘数，C1，C2，C3，C4是伴随变量.且g11，g12满足g11（p11-u1）+g12（u1-q11），g21，g22满足g21（p22-u2）+g22（u2-q22），从而得到最优控制问题的定理3和定理4.
定理3在控制系统（9）的初始条件下，最优控制满足：=max｛J（u1，u2）|（u1，u2）∈Γ｝.
证按照文献［14-15］中给出的方法证明最优控制问题的存在.所有的控制和状态变量都是非空的.根据定义，控制变量集合u1，u2∈Γ是闭合的和凸的.因此，最优控制如果存在必定是紧致的.目标函数（8）中的被积函数是：.其在控制集合Γ下是凸的. 现在使用著名的Pontryagin最大原理来获得控制系统（9）的最优解.设（y，u）表示最优控制问题的最优解，则λ=（λ1，…，λn）的非平凡函数存在，满足条件：
通过将必要条件应用于H，在定理4中给出了伴随系统和控制特性.
定理4假设S，E，A，I，V，R满足用状态系统的控制变量表示其解，因此存在伴随变量：，横截性条件为：λi［Tf］=0，i=1，2，3，4，5，6.且：.
证运用最优控制和Hamiltonian得到伴随方程：
则u1（t），u2（t）的最优控制特性为：.
通过分析可知，控制参数达到定理4要求时，可以实现最优的控制效果，即在一定的成本和资源的作用下获得最优控制效果，使得一定时间内染病者人数最少的同时，投入最低的成本.
本文讨论了接种疫苗后的传染病模型，分析了模型的稳定性，以及基本再生数R0.证明了当R0＜1且γ＜μ时，无病平衡点全局渐近稳定，即病毒在人类中消失；
当R0＞1且γ＞μ时，有唯一的地方病平衡点，即病毒在人类中形成地方病.由R0的表达式，易于观察出病毒的传播是由疾病的传染率决定的.最有效的控制措施就是降低感染者与易感人群之间的传播率.此外，结果表明提高疫苗接种率也可以有效地控制疾病的传播.选择u1，u2为控制变量，其中u1表示个体的预防意识，u2表示疫苗接种.进行了最优控制问题的目标函数和存在性控制分析，导出了伴随系统和最优控制特性.
新加坡国立大学的Dickens曾经在国际医学期刊《柳叶刀》在线发表了一篇文章，研究了隔离对新冠疫情传播的影响［16］.作者以人口规模400万的城市为例，假设基本传染数为2，时间为疫情暴发最初4个星期.通过模型模拟，与没有防控措施的相比，家庭隔离可将疫情高峰推迟8天且在高峰期内减少7 100例感染，在整个疫情周期内减少190 000例感染；
集中隔离可将疫情高峰推迟18天且在高峰期内减少 18 900例感染，整个疫情周期内减少546 000例感染.由此可以看出，采用隔离措施可以有效减少疾病在家庭和社区传播.此外，疫苗接种也有利于疫情防控，根据美国疾控中心官网发布的数据，2020年12月14日至2021年4月13日，美国已有超过7 500万人完成了新冠疫苗接种.接种疫苗后，感染新冠且死亡的概率不到百万分之一（＜0.000 1%），未接种疫苗者感染率约万分之一（约0.007 75%），总人口中的自然感染率比接种人群中的感染率高了几个数量级.由于本文研究模型的传染病传播特性和病理特征多与新型冠状病毒一致，例如：感染新型冠状病毒后会有一段潜伏期，发病后会有一部人会成为无症状感染者，有症状的感染者和无症状的感染者都会有传染性，疫苗能够在一定程度上预防感染等，由此文献［16］的结论验证了本文结论的有效性.
