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张 薇
(成都师范学院 数学学院,四川 成都 611130)
积分方程一直都是学者研究的重点课题,很多实际问题的数学模型都可归结于积分方程的求解问题[1-4]。由于很难求得积分方程的精确解,学者们便致力于研究积分方程的数值解。目前,学者已经提出了一些数值方法来逼近积分方程的精确解。比如,用Daubechie小波结合伽辽金法求解第二类线性Volterra积分方程[5];修正的Block-by-Block方法求解第一类Volterra积分方程[6];径向基函数插值法求解积分方程[7];配置法求解弱奇性volterra积分方程[8-11]。本文采用的重心Lagrange插值配点法是插值法和配点法的结合与推广,对于特殊的插值节点分布,具有稳定性好、精度高和计算效率高等优点[12-13]。重心插值配点法求解积分方程的关键在于未知函数积分项的离散问题,本文将利用重心插值得到积分项的离散形式。本文主要研究如下形式的二维非线性Volterra型积分方程:
(1)
其中,X=(x1,x2);Y=(y1,y2);Ω=[0,x1]×[0,x2];D=[0,T1]×[0,T2],T1,T2是大于0的常数;f(X)=f(x1,x2)是D上已知的连续函数;u(X)=u(x1,x2)是未知函数;K(X,Y,u(Y))是定义在Ω×Ω×R上可积的有界函数;R是实数集。
1.1 一维重心Lagrange插值
设xi(i=0,1,…,m)是函数u(x)的m+1个不同的插值节点,其对应的函数值为ui,如果要使用多项式插值,则可以在多项式空间中求插值多项式um(x),使得um(xi)=ui,i=0,1,…,m,而多项式空间的次数不超过m,则重心Lagrange插值公式可表示为:
(2)
(3)
(4)
1.2 二维重心Lagrange插值
根据一维重心Lagrange插值公式,可推广得出二维重心Lagrange插值公式。二维重心Lagrange插值基函数可以表示为:
Li1i2(x1,x2)=Li1(x1)Li2(x2)
(5)
其中,Lik(xk),ik=0,1,…,mk,k=1,2是一维重心Lagrange插值基函数,式(5)满足性质:
(6)
(7)
为了简便,引进记号:
U=[u00,…,u0m2,…,um10,…,um1m2]T
(8)
L(x1,x2)=[L00(x1,x2),…,L0m2(x1,x2),…,Lm10(x1,x2),…,Lm1m2(x1,x2)]T
(9)
则式(7)的向量乘法形式为:
u(x1x2)=LT(x1,x2)U=UTL(x1,x2)
(10)
本文将基于重心Lagrange插值配点法,推导二维非线性Volterra型积分方程的代数方程组。现将方程(1)表示成如下形式的二维非线性的Volterra积分方程:
(11)
首先将式(7)代入方程(11)中得:
(12)
其中，Li(X)=Li1i2(X),ui=ui1i2.令方程(12)在节点Xj=(x1j1,x2j2)上成立,得：
(13)
求解方程(13)的关键是计算其中的积分项，现考虑使用Gauss求积公式近似求积分，则有：
(14)
其中，lp=lp1lp2且lp1,lp2是Gauss积分的积分权；
σp={σ1p1,σ2p2}且σ1p1,σ2p2是Gauss积分的积分点；
n1,n2是Gauss积分的积分点数量。
以上便得到二维非线性Volterra积分方程的重心Lagrange插值配点法的离散计算公式。其中方程(14)是非线性代数方程组，可以采用Newton迭代法进行求解。
定理1 设u(x1,x2)为方程(1)的解析解，um(x1,x2)是重心Lagrange插值配点解，记α=NLT2,则当0<α<1,m→∞时，um(x1,x2)→u(x1,x2).
证明：
(15)
例1.考虑如下一维非线性的Volterra积分方程：
(16)
该方程的准确解为u(x)=e-x.
在算例1中，在等距节点条件下，本文方法与文献[14]中Block-pulse函数和Taylor级数结合法、文献[7]径向基函数法下求得的绝对误差进行对比，如表1所示。可以看出，本文方法具有更好的数值结果。图1展示了当m=8,m=24时，重心Lagrange插值的等距节点误差分布图，可以看出，m的取值越大，本文方法具有更高的插值精度。
表1 例1不同方法在等距节点处的绝对误差Table 1 Absolute error of different methods at equidistant nodes for example 1
表1 (续)Table1 (Continue)
(a)m=8
(b)m=24
例2.考虑如下二维非线性的Volterra积分方程
(17)
表2列举了不同插值节点数量时，本文的重心Lagrange插值配点法在Chebyshev节点和等距节点处的最大绝对误差和最大相对误差对比。由表可知，当插值节点数量增加时，最大绝对误差在减小，且当达到一定精度时，增加插值节点数量，精度不会再减小。除此之外，还可以发现，本文方法基于Chebyshev节点的插值精度一般高于等距节点的插值精度。文献[7]中，当取RBF中心点间距h=0.2，形状参数β=5，在x,y方向各取10个高斯积分点，测点间距为ht=0.1，点数为121时，测点的最大绝对误差为2.703 4×10-4,相对误差最大值为1.351 7×10-3，比本文方法所得精度低。图2展示了当m1,m2分别为8和16时，重心Lagrange插值的Chebyshev节点绝对误差分布图，体现了本文方法的有效性。
表2 例2不同节点下的数值结果Table 2 Numerical results based on different nodes for example 2
(a)m1=m2=8
(b)m1=m2=16
本文主要是以重心Lagrange插值函数为基函数，结合配点法求解二维非线性Volterra型积分方程的数值解,并研究了该方法的收敛性。最后根据数值算例对比不同方法、不同节点的数值结果，验证了该方法具有较高的计算精度和有效性。理论分析和数值实验均表明，重心Lagrange插值配点法对非线性Volterra型积分方程的数值求解有效。
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