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高彦伟，孙宝凤
(吉林大学，吉林 长春 130012)
全国硕士研究生招生数学科考试试卷数学(一)(二)是为招收工学不同专业和类型硕士研究生而设置的常模参照性考试，同时也是水平考试，其主要目的是利于国家对高层次人才的选拔，利于高等学校数学课程教学质量的提高[1]。数学是考生普遍感觉到比较困难的考试科目，在初试总分值中又占较高比例，所以受到考生的高度重视，但从近三年考试的情况看，数学初试成绩国家分数线在51～60分之间，维持在较低水平，一定程度上反映了多数考生与选拔标准的距离。数学作为培养创新精神和创新思维的重要学科，决定了数学素养在人才知识结构中的地位。考试试题通过对数学思想与思维、数学运算与方法等数学核心素养和关键能力的重点考查，发挥了选拔工学高层次人才的功能，同时作为一种全国性的标准为本科教学提供了许多信息，产生了巨大的影响。许多数学教师将数学试题作为教学活动的重要参考和教学资料的重要来源，这对保障高等学校数学课程教学水平、防止教学质量滑坡、丰富数学课程教学资源等具有积极作用，也促使大学数学教师深化对数学教育功能的认识，思考在知识传授和素养培养方面存在的问题，切实将数学核心素养的培养贯穿于本科阶段的教学过程。
蔡金法[2]认为“数学素养是与阅读素养相当的、每个人都应该有权拥有的”。数学素养应该是人的一种思维习惯，人们能够主动、自然、娴熟地用数学进行交流，建立数学模型解决问题；
能够启动智能计算的思维，拥有数学情感，做一个会表述、有思想的和谐的人。蔡金法通过比较和总结，指出“从数学学科角度看，数学交流、数学建模、数学智能计算思维、数学情感能刻画出满足培养目标的人才所拥有的素养”。孙宏安[3]在剖析学科素养的建构过程时，把数学素养表述为“学生应具备的适应终身发展和社会发展需要的数学领域的必备品格和关键能力，其中，必备品格包括数学知识、数学应用意识、数据意识、计算意识、科学态度和数学价值观；
关键能力包括空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力、数据能力、数学抽象、表达、交流和建模能力”。张奠宙[4]对“数学核心素养”进行了评述，指出自2016年以来，学界对数学核心素养的界定已大体有定论，即包含数学思维方式、数学关键能力以及通过数学活动进行人格养成等三部分，其中数学关键能力包括六个方面，即数学运算、逻辑推理、直观想象、数学抽象、数学建模、数据分析。这反映了数十年来我国对数学教育目标的共识，同时认为将数学抽象改作算法设计更适合当前信息时代的要求。从以上这些具有代表性的观点可以看出，现今对数学核心素养的认识除个别表述有些差异之外，对当前信息技术时代数学核心素养主要成分的认识基本是一致的，即主要包括数学的思想与思维、数学的意识、数学语言与交流、数学建模、科学计算思维与方法、数据分析、数学情感与价值等。这对数学教育的目标与实践教学活动具有指导性意义，指明了数学教育的方向和数学教学改革所应遵循的教学要求。
工科数学教学是针对工程专业人才数学素养培养的具体教学活动，工程专业学生应具有数学核心素养，在大学阶段更应重视“数学技术”应用能力的养成。工程专业的本质特点是实践性，因此工科数学最为核心的素养成分就要体现出实践性，具体表现为数学建模能力和科学计算思维与能力。而大型科学计算或大数据背景下的数据分析需要借助计算机，用专门语言进行建模和程序设计都对学生提出更高的要求。这越来越成为工程专业学业要求的重要内容，也是工科数学教学的发展趋势和重点与难点。可见，工科数学教学更应突出关键能力，即数据分析、数学建模和智能计算思维与方法的运用，让学生学会“用数学的眼睛看，用数学的思维想，用数学的语言说”，还可以用数学的方法解[5]。
作为选拔性考试，硕士研究生数学科目考试围绕数学核心素养进行能力考查，在试卷中体现了数学素养的基本要素，能够在统一标准下比较客观地考查考生的数学知识与素养水平。
2.1 数学语言和数学表达
在每年的工科数学试卷中，都有对数学语言和符号表达能力考查的试题，具有较高的区分度和对能力水平的辨识度，主要围绕基本概念，将数学语言表达和基础知识结合在一起进行考查。
例1(2020年数学(一)试卷第3题)
例1考查二元函数在一点处全微分的概念与计算，与教材中对全微分的定义形式存在很大区别，是将定义形式与向量的运算结合起来，要求考生在理解全微分概念的基础上，能够利用向量的积运算表述二元函数全微分的定义。运用数学符号和数学语言描述问题是数学的核心素养培养之前提，是对学生基本能力的考查，也对学生提出了较高的要求。
2.2 转化思维和形式构造
数学方法主要体现在抽象、构造和转化能力方面。一般地，当直接解决具有难度的问题时，需要将问题的形式进行重新构造和转化，从而达到易于解决问题的目的。
例2(2019年数学(一)试卷第17题)
求曲线y=e-xsinx(x≥0)与x轴之间图形的面积。
(2019年数学(二)试卷第19题)
例2主要考查定积分的几何应用，在数学(一)试卷中，仅要求x≥0。而在数学(二)试卷中，根据《硕士研究生招生考试数学考试大纲》对内容和要求的规定，体现了对学生能力要求的差异，对难度做了必要的降低和提示。此题将连续性问题和离散性问题结合起来，对考生分析问题、转化问题及计算能力有较高的要求，对学生的数学思维进行了考查，具有很强的综合性。
2.3 结构不良和严谨性思维
数学问题的“结构不良问题”主要表现为条件缺失或冗余，问题目标界定不明确或具有多种解决方法与途径等。处理结构不良问题，体现了数学学科的严谨性和准确性，是对考生严谨性数学思维的重要考查，具有开放性和区分度。
例3(2020年数学(一)试卷第18题)
例3是结构不良问题，能够集中反映考生学习数学过程中存在的问题，即从纯粹应试的角度处理问题，不注重数学结论成立的条件，当问题的条件发生变化时没有识别能力，更不具备转化能力。多数考生忽视被积函数不具备高斯公式的适用条件，最后导出三重积分后无法处理，因计算困难而放弃，这反映了学生对数学公式理解和计算的能力比较薄弱。
例4 (2022年数学(二)第3题)
设函数f(x)在x=x0处具有二阶导数，则
A．当f(x)在x0的某邻域内单调增加时，f′(x0)>0；
B．当f(x)在x0的某邻域内是凹函数时，f″(x0)>0；
C．当f′(x0)>0时，f(x)在x0的某邻域内单调增加；
D．当f″(x0)>0时，f(x)在x0的某邻域内是凹函数。
本类问题在历年考试中都有体现，主要考查条件对结论是否充分，考试结果反映出考生基础知识掌握不牢固、思维不够严谨的特点。
2.4 抽象思维和几何直观
抽象思维、形象思维和逻辑思维作为最基本的思维形式是一切方法的根源，方法是这一系列思维形式的具体体现，但在具体运用层面，这三种思维形式又被应用于不同的层面而具有差别[6]。
例5 (2016年数学(二)试卷第5题)
A.f1(x)≤f2(x)≤g(x)；
B.f2(x)≤f1(x)≤g(x)；
C.f1(x)≤g(x)≤f2(x)；
D.f2(x)≤g(x)≤f1(x)。
本题构造巧妙，强调知识点的内涵和几何直观性，如果用演绎推理进行求证会比较困难，而利用图形则可以直接选出正确选项。数形结合问题的考查在近几年线性代数的试题中多次出现。
例6(2020年数学(一)试卷第6题)
i=1,2,3，则
A．α1可由α2,α3线性表示；
B．α2可由α1,α3线性表示；
C．α3可由α1,α2线性表示；
D．α1,α2,α3线性无关。
这是一个具有几何背景的代数问题，代数方法是研究空间图形的有力工具，体现了数与形的关系。此类题目对考生的抽象思维能力和理解能力提出较高的要求。
2.5 逻辑推理与辩证思维
例7(2022年数学(一)试卷第20题；
数学(二)试卷第21题)
这是一道利用泰勒公式研究函数性质的试题，要求考生根据题设条件，通过逻辑推理和思考研究函数的性质，考生普遍反映对此题感到无从下手。由于考生在学习中习惯于套路化，利用思维定式来解题，反而忽视微分中值定理的理论意义和实践意义。当题目与常规性试题不同时，则显露出学生逻辑推理和辩证思维能力的欠缺。
2.6 数学建模与实际应用
例8(2016年数学(二)试卷第13题)
已知动点P在曲线y=x3上运动，记坐标原点与点P间的距离为l。若点P的横坐标对时间的变化率为常数v0，则当点P运动到点(1,1)时，求l对时间的变化率。
例9(2020年数学(一)试卷第23题)
设某种元件的使用寿命T的分布函数为
其中θ,m为参数且大于零。
(1)求概率P{T>t}与P{T>s+t|T>s}，其中s>0,t>0；
例8是微积分的物理应用问题，例9是从实际应用背景角度考查数理统计学中参数估计的问题。微积分的诞生主要来源于解决物理问题，概率论与数理统计与许多工学专业有紧密联系，在其它学科中应用广泛，具有很强的技术性，是大数据分析的重要数学分支。试题规格适度，难度适中，强化了学生对数学技术性的认知和重视。
2.7 数学变式与创新思维
例10(2022年数学(一)试卷第22题)
此题脱离了本科教材的范围，是一种变式题，但仍属于考试大纲所要求的内容范围，强调对知识的深刻理解与灵活应用。数学变式教学是我国数学教育的一个重要特色。当面对新颖的问题时，考生应根据所学的数学基础知识创造性地对问题进行分析与处理。
坚持选拔标准，是选拔高层次人才的生命线。标准不是由考生决定的，而是由科技发展的新形势、国家战略发展规划和学科发展状况等综合因素决定的。根据硕士研究生招生数学科考试情况所反馈的信息，坚持选拔标准，需要教师省思教学中的问题，考生省思学习中的问题，促进教学与学习整体水平的提高。
3.1 遵循教学规律，摒弃异化教学
学校教学过程具有较为复杂的因果关系。对绝大多数学生而言，数学学习完全靠自学和自悟的难度极大，需要教师的引领。教学指导委员会根据学科发展和社会需要制定教学目标和教学要求，教师根据教学目标通过教学活动实现数学教育的功能，既有单向也有双向的教学活动。教学活动围绕教学目标进行，一切教学模式都是为了取得好的学习结果。任何一位优秀的数学教师都清楚，学生的成功不仅取决于教师教给他们什么，还取决于教师如何教会他们。也就是说，在目前情况下，学生主要的数学知识来自于教师。如果由教学活动决定教学目标和学生学习，则这种教学活动是有害的。许多学校基于学生的基础，大幅降低数学课程的学时和难度，这是一种客观存在的现象，但必须加以干预和控制，直至避免这种情形的出现。
根据对某省会城市2019—2021年理工类考生进行抽样调查获得的740名学生的数学成绩，并结合考生复习备考与本科阶段教学情况综合进行分析，分数的统计规律性十分显著，其分数主要与三个因素有很强的相关性：一是目标学校；
二是考生本科阶段的基础，与学校的课程设置、教学时数和教学难度有关；
三是学习习惯、思维能力和自我控制力有关。存在的问题表现为：忽视数学素养水平的提升，急于求成；
数学思维能力、计算能力较弱；
容易受到外界因素的干扰和误导。部分考生通过参加课外辅导或从网络上获取教学资源，但这些教学资源良莠不齐。一些教学资源所体现的教学理念和教学方式存在很大弊端，受利益驱使，为了迎合一些考生急功近利的心理，教学中缺乏科学的教学标准，也缺少必要的监管，是一种异化的教学形式，必须加以摒弃，否则就是对考试走向和教学质量的挑战。
3.2 坚持教学标准，保证教学质量
从考试情况来看，本科阶段数学教学存在问题所带来的后果也显现出来。首先，学业要求标准降低。一些高校根据办学层次和学生情况，为使学生能够顺利毕业，在本科阶段降低学业标准，降低难度要求，大量缩减课时，变相造成学生基础知识不扎实，失去竞争力。根据调研，国家重点高校基于人才培养战略和科技发展与竞争的新情况采用分班制对学生进行分流培养，设置一些特色班。特色班越来越重视基础学科教学，不仅增加教学学时，而且将公共数学基础课放在更加重要的位置；
普通班级则仍处于“放水”状态，从某种程度上讲，这是一种有悖于“有教无类”、不公平的教育形态。其次，缺乏对素养的深刻认识。工科数学基础课程通常包括微积分、线性代数、概率论与数理统计。各工程专业根据需要还开设了相关课程，主要有复变函数与积分变换、数学物理方程、计算数学、泛函分析、矩阵论和应用统计学等。这些课程的设置从基础理论到实践研究形成了较为完整的体系。从现行教材和教学来看，传统的数学教学过分强调对数学定义、规则和程序的记忆，学生对数学原理的掌握比较扎实，但缺乏数学情感，甚至产生厌恶情绪。教师开展教学活动时只关注常规问题的解决，忽视自身素养的提升，缺乏对数学素养在人才素养中重要地位与作用的认识，未能从数学文化、数学情感、数学思想、数学思维与方法、数学的技术性整体上构建教学内容。最后，缺乏综合性教学设计。工科数学教学要处理好理论与应用的关系、核心素养与社会需要的关系，在教学设计上采用多种素材、资源、手段进行综合性教学活动设计，以工程专业学生应具有的数学核心素养为导向，将原理教学和实践教学统一起来，促进学生的数学思维、推理和运用数学技术的实践能力的发展。
学校教育是学生能力培养的关键环节，学校教学标准的高低直接影响选拔标准和选拔结果。面对科技竞争、大国博弈和国家发展的战略需求，只有坚持标准，一如既往地发挥好选拔功能，才能保证培养质量，起到示范引领作用。
3.3 突出素养培养，注重思维训练
数学具有自身发展的轨迹和脉络，有自身鲜明的语言和方式，体现于思维能力素养塑造和源于经验并解决实际问题的能力。熟悉并会运用数学语言描述问题，是学好数学的前提，是数学思想和思维的具化。没有数学思想和思维的教学是没有灵魂的教学，自然就不能抓住数学的本质，也就难以正确地解决具体问题。开展富有成效的教学工作，需要稚化思维，与学生平行，分析学生在知识学习过程中遇到的思维障碍，指导学生如何思考、突破难点。对于具有高度抽象性的数学概念和定理更应如此，引领学生进行学习，先分析学习过程中思维出现问题的原因，消除思维上的障碍，弄清因果关系，这对训练学生的数学思维能力是十分有益的。由于概念的抽象性，可以利用物理背景、问题的原始认知或是通过几何直观性进行教学，通过习题练习训练学生的逻辑推理、抽象思维和辩证思维能力。
3.4 研究测验方法，进行科学评价
聚焦核心素养，考查关键能力是贯穿于中考、高考、硕士研究生招生数学命题的显著特点，现在已形成数学考试的完整体系，并成为一些大型企业、公司招聘面试的重要内容。数学素养具有多维结构，呈现多种形态的信息，素养导向的数学学业成就测评是数学课程改革面临的核心问题[7]。慕课、混合式教学等新兴教学模式的广泛使用，也必然涉及新的测评技术和标准。学习者获取学习资源的路径和方式被拓宽，自适应学习也备受关注和使用，人工智能技术在教育测评领域和学习领域得到越来越广泛的应用[8]。考试测量不管是基于哪种理论，采用的方法多为统计学方法。统计学方法虽然能反映出变量之间的关联程度，但只是面对试验数据的结果、结构得出相关性，不能反映背后的因果关系。数学素养培养过程受个体心理因素、情志因素、学习习惯等不确定因素影响很大，如果对这些因素加以干预，对学习结果亦会产生较大影响，可是一些因素又很难进行量化描述，因此研究测验方法，特别是能反映过程和纠偏的智能化评价方法对科学评价数学素养水平尤为重要。
现代科学技术的研究往往需要多学科、多专业协同进行。深度学习、协同学习、融合教学、融合研究、协同发展，已经成为提升人才质量的关键因素和重要途径。新工科教育理念重新定位了高等工程技术人才的培养目标，提升了对学习者学业和能力的要求[9]。硕士研究生招生考试数学试卷很好地体现了对考生掌握基本概念、基本原理、基本方法的情况以及其应用能力等方面的考查，但也应该注意到数学考试毕竟是常模参照考试，难以在有限时间内对更具广度与深度问题的研究能力进行评价，因此建议将常模参照考试和日常教学协同起来，挖掘数学思想史所蕴含的丰富的数学哲学思想和思想政治教育资源[10]，从数学思想、数学关键能力、数学价值与人格养成等方面进行数学素养的深度培育，架起数学与科技创新的桥梁。
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