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吴 昊
(1.交通运输部天津水运工程科学研究所，天津 300456；
2.天津水运工程勘察设计院有限公司，天津 300456；
3.天津市水运工程测绘技术企业重点实验室，天津 300456)
风力发电是当今发展最快的绿色能源之一。中国海上风能资源丰富，可开发风能资源约7.5亿kW，是陆上风能资源的3倍。与陆上风电场相比，海上风电场的优点主要是不占用土地资源，基本不受地形地貌影响，风速更高，风能资源更丰富，风电机组单机容量更大(3～5 MW)，年利用小时数更高。就资源禀赋来看，我国经济重心在东南沿海地区，人口稠密、经济发达、电网结构较强，但却存在明显的电力配给不足。而我国传统的天然气、煤炭、石化能源供应主要分布在西北内陆，长距离的运输无法有效缓解东部的电力短缺问题。海上风电的大力开发则有利于弥补这种能源供应与经济重心逆向分布不足。
海上风电基础施工有重力式基础、单桩基础、导管架基础、吸力桶基础、漂浮式风机基础等多种工艺。其中单桩基础因为造价低廉、施工简便，是目前基础施工的主要类型。因为塔筒、风机、扇叶等上部组件均要安装于单桩基础之上，所以单桩基础的安装垂直度一般要求为3‰～5‰。受制造工艺、场地存放环境、海上运输条件等因素影响，在海上打桩施工期间往往发现钢管桩并非笔直，而是出现了挠度变化，导致打桩垂直度无法控制。因此，通常需要在建造场地，对出厂前钢管桩的直线度进行复核，确保钢管桩没有挠度变化，或变化在限差范围内，才允许其投入现场作业。
钢管桩出厂时周身裸露，没有标注任何标尺或刻度线，且一般都存在直径较大的变径问题，所以无法直接通过母线法进行直线度测量。而钢管桩为圆形结构，按照目前的海上风电单桩基础设计标准，以及工厂钢结构建造工艺水平，钢管桩的横切截面为标准圆形，圆度差精度设计要求一般小于3 cm，相较于5 m直径，尺度比小于6‰。所以，可以利用钢管桩横截面为圆形这一特性，测量其圆形截面的边缘点，拟合出该横截面的空间圆曲线，拟合计算圆曲线的圆度差和拟合圆平面的平整度，最后计算出拟合圆曲线的圆心坐标。如图1所示，通过对钢管桩不同分段的多个横切截面的圆曲线拟合，获得多组拟合圆心坐标，然后将各截面圆心点拟合为空间直线，最后计算出各拟合圆心点距拟合直线的距离和方向，即为该钢管桩的直线度指标。
图1 钢管桩截面Fig.1 Section of steel pipe pile
按照目前的制造工艺，钢管桩由各分段拼接而成。制造商首先将整块方形钢板用卷轧机卷制成圆形分段，然后再将分段拼合后焊接成钢管桩。通过现场实地查看，卷制前的方形钢板为标准矩形，且各分段的拼接焊缝平整而细致，是横切截面圆形天然的观测标志。因为出厂前钢管桩均横卧于建造场地，所以围绕钢管桩四周布设控制点，建立控制网。如图2所示，采用支导线测量方式，将控制点引入钢管桩内部，作为设站点，以各分段拼接焊缝作为观测点，即可在统一坐标系下测得各截面圆观测点。然后拟合各截面圆心，再将各圆心拟合直线，继而可以计算出整个钢管桩的直线度变化。
因为钢管桩长度一般为100～150 m，则在此小范围内控制点测量精度可以达到毫米量级，满足工程精度要求。
图2 钢管桩内部圆截面观测Fig.2 Observation of inner circular section of steel pipe pile
目前常用的空间圆形拟合方法多是基于球体数学模型和平面方程的空间几何关系。在参考文献[1-2]中，利用平面圆拟合的简易性，首先将空间三维坐标转移至平面，拟合得出圆心坐标和半径后，再将拟合得出的圆心和半径反向转移至空间原坐标系，从而得到空间圆的圆心坐标和半径。此种方法数学原理复杂，空间关系繁琐，计算难度大，不易实现，并且难免加入人为误差，降低了空间圆拟合的精度。在参考文献[3-4]中，将空间圆形认为是空间球体和空间平面相交而形成的一个大圆，即为平面切开球体所得到的切割线，虽然空间关系简单，但计算步骤繁琐，没有充分利用空间圆的基本特性，方法不够直接有效。
在平面圆上，任意两点连线的中垂线都会通过圆心，则不同弦长中垂线的交点有且只有一个，即是圆心。同理，对于空间圆，任意两点连线对应的中垂面都会通过圆心，则不同弦长对应的中垂面交点也有且只有一个，即是圆心。所以，可以利用此空间几何原理进行空间圆的拟合。首先，理论上所有测量点都应位于同一个平面内，需要先进行空间平面拟合；
其次，空间圆上任意两个点连线可以得到一条弦边，通过这条弦边的直线方程可以计算出对应的中垂面方程，则N(N>3)个测量点，可以得到N-1条线性不相关的弦边，从而得到N-1个线性不相关的中垂面方程；
然后，根据空间圆的几何特性，拟合平面与所有中垂面相交有且只有一个交点，这个交点即为拟合圆的圆心；
最后，将拟合的空间平面作为限制条件，中垂面作为观测方程，利用带有限制条件的间接平差作为基本函数模型，推导出空间圆曲线的圆心计算方程，再根据观测点到圆心的代数距离计算出圆的半径。
因为常规单桩的直径通常为5～10 m，横卧于建造场地，所以在桩筒内较难搭设爬梯或利用升降机械，对整个圆截面进行观测，只能在有棱镜布设和无棱镜反射的有效范围内测量尽量多的截面点。因为不同的弦长交会出的圆心精度不同，理论上来讲两点连线越长，测量误差的影响也就越小，则对拟合圆心的精度影响也就越小。所以首先，对观测点按照对向距离远的原则交叉组合，形成直线方程，从而推导出中垂面方程；
其次，因为圆心应位于圆截面观测点所在的平面，可以以此特性作为限制条件；
最后，根据所有中垂面相交于圆心的特性，以中垂面作为观测方程，以观测点平面作为限制条件，根据带有限制条件的间接平差函数模型[5]拟合计算出圆心坐标和半径[6]。
图3 观测点对向交叉组成弦长Fig.3 The chord length is formed by intersecting the observation points in opposite directions
(XA1-XAn，YA1-YAn，ZA1-ZAn)·((XA1+XAn)/2-Xc，(YA1+YAn)/2-Yc，(ZA1+ZAn)/2-Zc)=0
(1)
展开有
模型中，i和t分别表示不同省份和年份；
C1、C2、C4分别表示投资、技术创新和人口对产业结构升级的作用效应；
C3表示非老龄人口比例对产业结构升级的影响，当C3＞0时，表示老龄化程度越高，越不利于产业结构升级；
C5表示分配给劳动人口的资源比例对产业结构升级的影响，当C5＜0时，表示分配给老龄人口的资源越多，越能促进产业结构升级。
(XA1-XAn)×Xc+(YA1-YAn)×Yc+(ZA1-ZAn)×Zc-(XA1×XA1
+YA1×YA1+ZA1×ZA1-XAn×XAn-YAn×YAn-ZAn×ZAn)/2=0
(2)
n个观测点坐标大约可以列出n-1个线性无关的中垂面方程，可得误差方程
V=B·X-L
(3)
B为对向交叉点坐标对应差值矩阵
(4)
L为对向交叉点点坐标平方和之差的半值矩阵
(5)
X为圆心坐标
(6)
得到第一个条件方程如下[9]
B·X-L=0
(7)
下面进一步拟合出观测点所在的平面方程：
aX+bY+cZ+d=0
(8)
改写为误差方程为
A·X′-L′=0
(9)
其中，A为圆截面观测点坐标矩阵
(10)
X′为平面方程法向量：X′=(a,b,c)T，L′为平面方程常数向量：L′=(d1，d2，…，dn)T。因为平面方程a、b、c、d四个参数具有比例关系，所以需要固定d值，然后根据最小二乘法VT·P·V=min，即可求得[11]
X′=(a,b,c)T=(AT·A)-1·(AT·L′)
(11)
解算出平面方程后，再进一步求解圆心，过程如下：
因为圆心必定位于观测点拟合平面上，根据平面方程则有：aXc+bYc+cZc+d=0，将方程改写为
C·X-Wx=0
(12)
其中：C=(a,b,c)，X=(Xc，Yc，Zc)T，Wx=-d。则按照附有限制条件的间接平差，联合式(7)，可组成方程
(13)
式中：Ks为限制条件的联系数向量，公式变换形式为
(14)
即可求出圆心坐标X=(Xc，Yc，Zc)，然后再根据圆截面观测点至圆心的距离求均值，即为圆心半径[12]
(15)
各观测点至圆心的距离与拟合半径之差为圆度差[13]
(16)
各观测点至拟合平面的距离为平整度[14]
(17)
至此，每一个截面的圆心拟合完成后，将各圆心连线形成空间直线(折线)，即可检验钢桩的直线度，必要时还可以继续采用最小二乘法拟合出空间直线，整体描述钢桩的挠度变化。
表1 拟合圆心比对Tab.1 Fit center of circle comparison
在广东揭阳某风电场项目中，对出厂前的单桩基础采用本文算法进行了实地测量拟合计算。
首先验证本文算法的可靠性。选取加工厂内正在建造但尚未拼接的钢管桩一个分段的边沿圆截面观测数据作为算例，按照0.5 m间距测量边沿点的精确X、Y、Z三维坐标。然后，分别使用本文空间圆拟合算法，与MATLAB数学分析计算软件中的空间几何工具包中的圆拟合算法[15]，进行拟合计算，最后将计算结果进行了比对。由下述表1和表2可见，本文算法的计算结果与MATLAB软件内置工具包的计算结果非常接近，计算精度的数量等级基本一致。
表2 观测点圆度差和平整度比对Tab.2 Comparison of roundness difference and flatness of observation points
表3 各分段直线度Tab.3 Straightness of each segment
然后对整根单桩基础进行实地测量计算。选取厂区内已经拼接完好的某根单桩基础，按照文中上述的局部坐标系建立方法布设局部测量控制网，然后对已观测平面和高程控制网数据进行平差计算，获取各控制点的精确平面坐标和高程[16]。根据单桩基础的变径情况，按一定间距选取特征截面，进行截面圆观测拟合测量，共测得14个拟合圆截面。在钢结构三维设计软件中，将各截面圆观测点和拟合计算得到的空间圆曲线，进行三维空间显示和直线度计算，分段计算得到直线度如表3所示。
钢结构三维显示软件中的观测点显示，以及直线度的拟合显示，如图4所示。
图4 直线度拟合显示Fig.4 Display of straightness
因为钢管桩长约100 m，自重约1 500 t，当其横卧于垫块之上时，受自身重力作用，钢结构会出现弹性延展挠度变化，且存放场地并非绝对平整或水平，这些因素都会造成自身弯曲干扰，影响测量数据和计算结果的准确性。所以施工方对钢管桩直线度的技术要求为：(1)管节轴线弯曲矢高不大于1‰管节长；
(2)桩总轴线弯曲矢高不大于1‰桩长，多管节拼接时以整根质量要求为准。由表3可见，14个截面拟合半径与设计半径差值，直线度数值均满足施工方要求。
本文根据平面圆弦长中垂线相交于圆心的特性，引申出空间圆弦长中垂面相交于圆心的特性，又根据圆心必定位于拟合平面上的特点，作为限制条件，利用附有限制条件的间接平差方法，结合最小二乘法原理，提出了一种空间圆拟合的新方法。本方法摒弃了常用方法空间逻辑繁琐、公式计算复杂等缺点，通过简单的几何关系，推导出便于计算的公式，方便计算机编程实现。本算法成功应用于工程实际，得到了有效的检验，并可延伸应用于倾斜桩测量、隧道测量、管渠测量等多个领域。
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