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任咏红，孙煜超，闫玉华
(辽宁师范大学 数学学院, 辽宁 大连 116029)
自从L.A.Zadeh[1]引入模糊集的概念和Rosenfeld[2]引入模糊子群的概念, 开创了模糊代数学的研究领域以来, 各种模糊代数理论相继出现.学者们引入了模糊子格的概念并研究其理论[3-6], 从而将模糊代数推广到格的情况.Bhakat和Das[7-9]基于模糊点和模糊集的邻属关系, 研究了(α,β)-模糊子群的定义.袁学海等[10-11]先后定义了区间值模糊集的区间值水平截集, 区间值模糊点和区间值模糊集邻属关系, 并将这种邻属关系应用于区间值模糊代数的研究中, 提出了(α,β)-区间值模糊子群的概念, 2009年杨家歧[12]讨论了(α,β)-直觉模糊子格.
本文基于区间值模糊点和区间值模糊集的邻属关系, 提出了(α,β)-区间值模糊子格的概念, 分别研究了α,β∈{∈,q,∈∨q,∈∧q}时,(α,β)-区间值模糊子格的性质, 讨论了几种(α,β)-区间值模糊子格的等价条件, 并证明了格L上的一个区间值模糊子集分别为这3种区间值模糊子格的充要条件是其对应的区间值水平截集为格L的三值模糊子格.
设M={[a1,a2]|0≤a1≤a2≤0.5或0.5≤a1≤a2≤1}, 在M中规定：
对λ=[a1,a2],μ=[b1,b2]∈M, 满足
λ≤μ⟺a1≤b1,a2≤b2;λ<μ⟺a1≤b1,a2 定义1.1设A:L→[0，1]为格L的一个模糊子集, 若 A(x∨y)≥A(x)∧A(y)，A(x∧y)≥A(x)∧A(y)， 则称A为格L的一个模糊子格. 定义1.2[7](1)设X为集合, 称映射A:X→M为X上的一个区间值模糊子集, 记作A(x)=[A-(x),A+(x)],∀x∈X. 定义1.3[8]设xλ为一个区间值模糊点,A是X上的一个区间值模糊子集. (1)令[xλ∈A]表示xλ属于A的程度,[xλqA]表示xλ重于A的程度, 且当λ=[a1,a2]时, 有 (2)[xλ∈∧qA]=[xλ∈A]∧[xλqA],[xλ∈∨qA]=[xλ∈A]∨[xλqA]. 令“→”表示三值蕴涵算子, 则有三值蕴涵真值表(见表1). 表1 三值蕴涵真值表 (1)([xλαA]∧[yμαA]→[(xλ∨yμ)βA])=1; (2)([xλαA]∧[yμαA]→[(xλ∧yμ)βA])=1. 则称A为L的一个区间值模糊子格, 这里xλ∨yμ=(x∨y)λ∧μ,xλ∧yμ=(x∧y)λ∧μ. 定义2.1与下述定义2.2等价. (1)[(xλ∨yμ)βA]≥[xλαA]∧[yμαA]; (2)[(xλ∧yμ)βA]≥[xλαA]∧[yμαA]. 则称A为L的一个区间值模糊子格. 由于α,β∈{∈,q,∈∧q,∈∨q)}, 所以(α,β)-区间值模糊子格一共有16种, 下面来研究这些(α,β)-区间值模糊子格的性质. 令λ=[A-(x)∧A-(y),A-(x)∧A-(y)], 则有λ∈M且[xλ∈A]=1,[yλ∈A]=1.存在μ=[b1,b2]∈M, 满足 0<1-b11-b1,A-(y)>1-b1,1-b2≤1-b1<1. 因此，[xμqA]=1,[yμqA]=1,b2>0. 当α=∈或∈∨q时,[xλαA]=[yλαA]=1, 于是对β∈{∈,q,∈∧q,∈∨q}有 1=[xλαA]∧[yλαA]≤[(x∨y)λ∧μβA]≤1. A-(x∨y)≥A-(x)∧A-(y)>0或A-(x∨y)>1-A-(x)∧A-(y)≥0. 当α=q时,[xμαA]=[yμαA]=1, 于是对β∈{∈,q,∈∧q,∈∨q}有 1=[xμαA]∧[yμαA]≤[(x∨y)μβA]≤1. A-(x∨y)≥b2>0或A-(x∨y)>1-b1>0. 0<1-b2≤1-b11-b2,A+(y)>1-b2,b1>0. A+(x∨y)≥A+(x)∧A+(y)>0或A+(x∨y)>1-A+(x)∧A+(y)≥0. A+(x∨y)≥b1>0或A+(x∨y)>1-b2>0. 定理2.2设A为L的一个区间值模糊子格, 对x∈L, 令A(x)=[A-(x),A+(x)], 设A-(x)>0, 则当(α,β)∈{(∈,q),(∈,∈∧q),(∈∨q,q),(∈∨q,∈∧q),(q,∈),(q,∈∧q),(∈∨q,∈)}时, 有A(x)=[1,1]. 证易证A-(x)=1. 事实上，若0 0 则A-(x)≥a2,A-(x)>1-b1, 即[xλ∈A]=1,[xμqA]=1. 当(α,β)∈{(∈,q),(∈,∈∧q),(∈∨q,q),(∈∨q,∈∧q)}时,[xλαA]=1.由A为L的一个区间值模糊子格知 [(x∧x)λ∧λβA]≥[xλαA]∧[xλαA], 即[xλβA]=1.于是有[xλqA]=1, 即A-(x)>1-a1.这与A-(x)<1-a1矛盾. 当(α,β)∈{(q,∈),(q,∈∧q),(∈∨q,∈)}时,[xμαA]=1.由A为L的一个区间值模糊子格知 [(x∧x)μ∧μβA]≥[xμαA]∧[xμαA], 即[xμβA]=1.于是有[xμ∈A]=1, 即A-(x)>b2.这与A-(x) 又A+(x)≥A-(x)=1, 所以A(x)=[1,1]. 定理2.3如果A≠∅且A是一个(q,q)-区间值模糊子格, 那么A-(x)在H={x|x∈L|A-(x)>0}上是一个常数. 证若存在x,y∈H,A-(x)≠A-(y), 不妨设A-(x) A-(x)<1-a1,A-(x)>1-b1,A-(y)>1-a1,A-(y)>1-b1. [(xμ∨yλ)qA]=[(x∨y)μ∧λqA]≥[xμqA]∧[yλqA]=1. 由于[((xμ∨yλ)∧xμ)qA]=[xλqA]≠1, 则[(xμ∨yλ)qA]=[(x∨y)μ∧λqA]≠1.这与[(xμ∨yλ)qA]=1矛盾. 同理可证,xμ∧yλ的情况. 因此,A-(x)在H={x|x∈L|A-(x)>0}上是一个常数. 证首先, 存在一个元素x∈H, 使A-(x)≥0.5.若不然, 则有A-(x)<0.5,∀x∈H.由于A-在H上不是常数, 所以存在x,y∈H, 使得A-(x)≠A-(y), 不妨设A-(x) A-(x) (1) 则 [xμqA]=[yλqA]=[yμqA]=1,[(xμ∨yλ)qA]=[(x∨y)μ∧λqA]=1且[xλqA]≠1. [((xμ∨yλ)∧xμ)∈∨qA]=[xλ∈∨qA]=[xλ∈A]∨[xλqA]. 又[((xμ∨yλ)∧xμ)∈∨qA]≥[(xμ∨yλ)∈∨qA]∧[xμ∈∨qA]=1, 从而[xλ∈A]∨[xλqA]≥1, 这与式(1)矛盾. 因此, 存在x∈H,A-(x)≥0.5. 其次, 假设存在y∈H, 使A-(y)<0.5, 则存在λ=[a1,a2],μ=[b1,b2]∈M使得 (1-A-(x))∨A-(y) (2) 则 [((xμ∨yλ)∧yλ)∈∨qA]=[yλ∈∨qA]=[yλ∈A]∨[yλqA]≥1. 故A-(y)≥a1或A-(y)>1-a1，这与式(2)矛盾, 于是有A-(x)≥0.5, ∀x∈H, 从而A+(x)≥0.5. 同理可证，xμ∧yλ的情况. 定理2.5设A为L的(∈∧q,β)-区间值模糊子格,N={x|x∈L,A-(x)>0.5}，则当β∈{q,∈∧q}时，A(x)在N上为常量. 证只需对β=q的情况加以证明. 首先, 对A-(x)>0.5, ∀x∈N, 证A-(x)在N上为常数. 事实上, 若A-(x)≠A-(y), ∀x,y∈N.不妨设0.5 1-A-(y) (3) 则 [xλqA]=[((xμ∨yλ)∧xμ)qA]≥[(xμ∨yλ)∈∧qA]∧[xμ∈∧qA]≥ [xμ∈∧qA]∧[yλ∈∧qA]∧[xμ∈∧qA]=1. 于是A-(x)>1-a1, 这与式(3)矛盾. 因此，A-(x)=A-(y), ∀x,y∈N. 其次, 证明A+(x)=A+(y), ∀x,y∈N. 事实上, 显然有A+(x)>0.5,A+(y)>0.5.设存在λ=[a1,a2],μ=[b1,b2]∈M使 A+(y)>1-a2>A+(x)>1-b2>0.5， (4) 则 [xλqA]=[((xμ∨yλ)∧xμ)qA]≥[(xμ∨yλ)∈∧qA]∧[xμ∈∧qA]≥ 即A+(x)>1-a2, 这与式(4)矛盾, 因此，A+(x)=A+(y), ∀x,y∈N. 同理可证，xμ∧yλ的情况. 综上讨论知,A(x)在N上为常量. (3)如果A是L的一个(∈∨q,∈∨q)-区间值模糊子格, 那么A是一个(∈,∈∨q)-区间值模糊子格. 证(1)(2)证明显然成立. (3)由于A是L的一个(∈∨q,∈∨q)-区间值模糊子格, 故 [(xλ∨yμ)∈∨qA]≥[xλ∈∨qA]∧[yμ∈∨qA]≥[xλ∈A]∧[yμ∈A]， [(xλ∧yμ)∈∨qA]≥[xλ∈∨qA]∧[yμ∈∨qA]≥[xλ∈A]∧[yμ∈A]， 故A是一个(∈,∈∨q)-区间值模糊子格. 定理2.7(1)A为L的(∈,∈)-区间值模糊子格的充要条件是 A(x∨y)≥A(x)∧A(y),A(x∧y)≥A(x)∧A(y), ∀x,y∈L. (2)A为L的(∈,∈∨q)-区间值模糊子格的充要条件是 (3)A为L的(∈∧q,∈)-区间值模糊子格的充要条件是 (4)A为L的(∈∧q,∈∨q)-区间值模糊子格的充要条件是对∀x,y∈L满足 证仅证明(3), 其他情况的证明是类似的. 必要性.设λ=[A-(x)∧A-(y),A-(x)∧A-(y)].若 A-(x∨y)∨0.5 则 A-(x∨y)0.5,A-(y)>0.5, (5) 故 [(x∨y)λ∈A]≥[xλ∈∧qA]∨[yλ∈∧qA]=1, 于是，A-(x∨y)≥A-(x)∧A-(y), 这与式(5)矛盾，故有A-(x∨y)∨0.5≥A-(x)∧A-(y). 设μ=[A+(x)∧A+(y),A+(x)∧A+(y)].若A+(x∨y)∨0.5 A+(x∨y)0.5,A+(y)>0.5. (6) 故 于是，A+(x∨y)≥A+(x)∧A+(y), 这与式(6)矛盾.故有A+(x∨y)∨0.5≥A+(x)∧A+(y). 令a=[xλ∈∧qA]∧[yμ∈∧qA]. (i)当a=1时,A-(x)≥a2,A-(x)>1-a1,A-(y)≥b2,A-(y)>1-b1, 则A-(x)>0.5,A-(y)>0.5, 于是A-(x∨y)≥A-(x)∧A-(y)≥a2∧b2, 因此[(x∨y)λ∧μ∈A]=1. 若a1∨b1≤0.5, 则a2∨b2≤0.5, 有A+(x)>0.5,A+(y)>0.5. 若a1∨b1>0.5, 则A+(x)>0.5,A+(y)>0.5. 综上所知,[(x∨y)λ∧μ∈A]≥[xλ∈∧qA]∧[yμ∈∧qA]. 同理可证,[(x∧y)λ∧μ∈A]≥[xλ∈∧qA]∧[yμ∈∧qA]. 因此，A为L的(∈∧q,∈)-区间值模糊子格. 定理2.8(1)A为L的(∈,∈)-区间值模糊子格的充要条件是(∀λ∈M)Aλ为L的一个三值模糊子格. 证仅证明(2), 其他情况的证明是类似的. [(x∨y)λ∈∨qA]≥[xλ∈A]∧[yλ∈A], 即 Aλ(x∨y)≥Aλ(x)∧Aλ(y). 同理可证，Aλ(x∧y)≥Aλ(x)∧Aλ(y).因此,Aλ为L的一个三值模糊子格. [(x∨y)λ∧μ∈∨qA]=Aλ∧μ(x∨y)∨A[λ∧μ](x∨y)= Aλ∧μ(x∨y)≥ Aλ∧μ(x)∧Aλ∧μ(y)≥Aλ(x)∧Aμ(y)= [xλ∈A]∧[yμ∈A]. [(x∨y)λ∧μ∈∨qA]=Aλ∧μ(x∨y)∨A[λ∧μ](x∨y)= A[λ∧μ](x∨y)≥A(λ∧μ)c(x∨y)≥ A(λ∧μ)c(x)∧A(λ∧μ)c(y)≥Aλ(x)∧Aμ(y)= [xλ∈A]∧[yμ∈A]. 同理可证，[(x∧y)λ∧μ∈∨qA]≥[xλ∈A]∧[yμ∈A]. 因此,A为L的(∈,∈∨q)-区间值模糊子格. 本文基于区间值模糊点和区间值模糊集的邻属关系, 定义了(α,β)-区间值模糊子格.在“[a1,a2]≤[0.5,0.5]或[a1,a2]>[0.5,0.5]”的条件下, 对16种(α,β)-区间值模糊子格进行讨论, 建立了基于区间值模糊点和区间值模糊集邻属关系的(α,β)-区间值模糊子格理论.进一步证明了格L上的一个区间值模糊子集分别为这3种区间值模糊子格的充要条件是其对应的区间值水平截集为格L的三值模糊子格.
