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[摘要]在辅导学生探究物体速度与时间这两个变量的关系时，学生常常面临缺少生活经验及物体运动知识和没有可借鉴的经验和方法来解决问题的两大障碍。辅导中我开始用寻找规律的方法解决问题，但在变式训练中遇见不易直接看出的关系就困难了。于是我又应用数学建模的思想，利用一次函数将实际问题转化为数学问题来进行研究，通过变式训练反馈情况来看，验证了数学建模思想和方法在数学学习中的有效性及重要性。
[关键词]规律、数学建模；函数；变式训练；原有固定点学习了一次函数，很多学生问到同一题：“有一个小球由静止开始在斜坡上向下滚动，其速度每秒增加2米，到达坡底时小球速度达到40米/秒。问（1）求速度V与时间t的关系？（2）求t的取值范围？（3）求3.5秒时的速度？（4）第n秒时小球的速度为16米/秒，求n的值？”
我与学生的交流中，发现学生思考这道题时存在两大障碍，一是缺少生活经验及物体运动知识； 二是找不到可以借鉴的经验和方法把这个实际问题转化为数学问题来解决。
我告诉学生，没有见过小球在斜坡上滚过，可以把小球想成石头，小时候大家该玩过吧？“玩过。”于是学生头脑里出现了满是石头（或小球）在斜坡上向下滚动的情景。学生不停的想石头（或小球）怎么会越滚越快呢？对此题我们要解决的问题抛之脑后，视而不见。当我告诉了学生小球越滚越快的原因是重力加速度的问题，物理课上我们要进一步学习的，在这里不做探讨，大家只要理解题意、解决问题就可以了。可是学生仍是你看我，我看你，头脑中一片茫然，不知咋办？为什么呢？问其原因是学生的思维被头脑中石头（或小球）滚动的情景所困，不知道用什么方法去寻找速度V与时间t的关系？为此，我又用线段示意图表示了小球滚动情况，学生看着图，不知所措，不知从何处入手思考。于是我反复让学生说出0秒、1秒、2秒、3秒……时小球的速度，提醒学生观察分析其规律。时间过了很久，学生好像如梦方醒，突然间明白了速度V与时间t的2倍关系，即V=2t。清楚了第一问，后三问就迎刃而解了。
完成此题后，我将此题进行了变式训练一：把“小球由静止开始改为小球由5米/秒的速度开始”其余条件和问题不变，继续研究，仍结合线段示意图来理解，结果是学生一是受小球滚动的情景所困扰，二是看不出了速度V与时间t的关系？无法正确解答出此题。这时，我意识到了我的分析方法有问题，辅导中虽创设了情景，应用规律解决了问题，但存在只关注个体教学，重视简单化的规律寻找的局限性。教学中只见树木不见森林，没有帮助学生找到行之有效的解决这类问题的思想和方法，使学生在解答同类型题时条件一变，难度加大时原有的经验或方法无法借用从而失去了思维方向和解决问题的办法。
想了想，我建议学生重新把原题中第一个问题结合我们所学的函数知识来分析理解，即把原题中小球滚动的过程线段示意图用点表示在平面直角坐标系中进行观察和分析。经过观察，所描的这些点在一条直线上且经过原点，从而很快明白了速度V与时间t成正比例函数关系，学生用待定系数法很快得到结果。通过建立平面直角坐标系，我们就把这个实际问题转化为数学问题，从根本上找到了解决这类问题的思想和方法――通过数学建模的形式，利用函数思想来理解和解决问题。辅导到这儿，我让学生同桌合作，用我们刚才的方法来讨论变式训练一。学生积极行动起来，经过画图，学生顿悟出速度V与时间t成一次函数关系，每个小组用待定系数法顺利完成了。我没有就此停下来，而是将题再次进行变式训练二：“小球由静止开始改为小球由静止开始在斜坡上向下滚动，第3秒时速度为5米/秒，第3秒后其速度每秒增加2米，”其它条件和问题不变，鼓励学生四人小组合作讨论完成，看谁做的又对又快？学生情绪高涨，十分投入的研究起来，不一会儿，就有学生问“小球从静止到滚动的前3秒和第3秒后的图像不在同一直线上，咋办？”我鼓励学生自己讨论，不一会儿，有学生把答案递到了我面前，我首先肯定了他们分两种情况来理解分析的正确做法，并讨论了解答中易错之处，学生十分兴奋，，一脸笑容，陶醉在成功的喜悦中。当一位学生在体验成功喜悦的同时就会不知不觉中润物细无声的培养了学习兴趣，获得了进步。
通过这道习题的辅导，让我明白了解决问题的焦点是解决学生头脑中原有固定点知识的问题。此题矛盾主要表现在：一是学生对关键句子“速度每秒增加2米”理解方向出了问题，学生不是去寻找速度与时间数量的变化关系，而是陷入速度为什么越来越快――每秒增加2米的困惑中。原因是学生头脑中没有物体运动的相关知识为理解基础，造成理解困难，没有物理课上对物体运动试验的探究活动经验（原有固定点知识），陷入创设的生活情景中，干扰了学生正确的思维方向，误入歧途而不能自拔。其实学生完全可以绕过原因而直接寻找速度与时间数量的变化关系就可以解决问题了。二是学生虽然掌握了一次函数知识，但没有应用一次函数知识来解决问题的经验和方法（原有固定点知识）。好比学生有手中有米，但不知怎么把米煮成米饭，出现守着大米而挨饿的尴尬。在解决原题的问题中，我开始尝试了从局部到整体，由点到线的思路来帮助学生寻找其规律，费力的得到了答案。但当条件一变，难度增大，规律不易发现时学生便会立即陷入思维的混乱中，不知所措。原因是没有从根本上找到解决这类问题的有效方法――用数学建模思想将实际问题转化为数学问题来解决。这样做可能过程稍麻烦一点，但思维简单、直接明了，减轻了学生思维的负担和学习的困难，人人易学易会。这样才有了变式训练一和变式训练二的顺利解决。
面对这道习题的辅导过程，我没有就题论题，而是通过不停的变式训练，拓宽学生的思维和视野，巩固掌握的方法，培养学生举一反三的能力。我先尝试了用寻找规律的办法的局限性，后用了数学建模的思想和方法――将实际问题转化为数学问题来进行研究的思想和方法的有效性。由这道习题的辅导使我深深的体会到数学建模思想在学习数学的过程中的重要性。在实际教学中数学建模不仅能帮助学生构建完整的知识体系，而且为学生提供了解决问题的有效方法。
参考资料：金洪源所著《学科学习困难的诊断与辅导》
