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分步计数原理又称为乘法原理，是组合数学中的一个重要公式.很多学生在学习排列组合时感到困难，在很大程度上是因为他们对这一原理理解不深，不能灵活应用.只要学生能吃透这一原理，达到理解准确透彻，运用熟练灵活的程度，就能突破学习排列组合的难点.
乘法原理：Si(i=1,2,…,m)，|S|表示集合S的元素的个数，
S=S1×S2×…×Sm={(a1,a2,…，am）|ai∈Si,i=1,2,…,m}
，则有|S|=∏mi=1|Si|.
乘法原理在现行中学教材中称为分步计数原理，叙述如下：
完成一件事需要分成n个步骤，第1步有m1种不同的方法，第2步有m2种不同的方法，…，第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有m1•m2•…•mn种不同的方法.
下面着重讨论分步计数原理应用中的两类问题.
一、重复计算问题
很多学生认为只有在应用分类计数原理时才会出现重复计算的问题.其实，在应用分步计数原理时也同样存在重复计算的问题，这类重复问题主要是由于对分步计数原理理解不深，在对一件事进行分步的时候，各步骤的方法不独立而造成的.学生对这类重复问题既不易发现又难以理解.
【例1】 从5双不同的鞋子中任意取出4只，其中至少有2只配成1双的不同取法有多少种？
解：第一步，从5双不同的鞋子中任意取出1双，有C15种不同的方法；
第二步，从剩下的8只鞋子中任意取出2只，有C28种不同的方法.
根据分步计数原理，符合条件的取法共有
C15•C28=140种.
分析：上述计算结果包含了重复的取法，因而是错误的.设其中的2双鞋子分别是A1、A2和B1、B2，则第一步取到A1、A2，第二步取到B1、B2的结果，与第一步取到B1、B2，第二步取到A1、A2的结果是相同的，但在上述解法中被当作两种不同的取法来计算，从而犯了重复计算的错误.
在分步计数原理中，完成一件事的两种方法，只要其中任何一个步骤的方法不同，就被当做两种不同的方法来计算.这是检验分步是否正确，计算是否重复的标准.
解法一：（直接法）符合条件的取法分为两类：
第一类，取出的4只鞋子中恰有2只配成1双的取法有
C15•C24•C12•C12种不同的方法；
第二类，取出的4只鞋子配成2双的取法有C25种不同的取法；
根据分类计数原理，符合条件的取法共有
C15•C24•C12•C12+C25=130种.
解法二：（间接法）从5双不同的鞋子中任意取出4只，不同的取法共有C410种，其中取出的4只不能配成1双的取法有
C45•C12•C12•C12•C12种.
因此，符合条件的取法共有
C410-C45•C12•C12•C12•C12=130种.
二、巧用“分步”搭桥，沟通“未知”与“已知”，化难为易
“转化”是很重要的数学思想方法.排列组合中有很多问题是相互联系的，像“分组问题”，“定序排列问题”，“不尽相异元素的排列问题”，“环状排列问题”等，都可以通过巧妙的分步转化为一些已知的比较简单的问题来解决.这样的处理方法不仅能收到化难为易的效果，还能培养学生用联系的观点看问题，用转化的方法解决问题.
【例2】 （1）把6本不同的书分配给甲、乙、丙三人，每人2本，有多少种不同的分配方法？
（2）把6本不同的书平均分成3份，每份2本，有多少种不同的分法？
解：（1）按分步计数原理可得，不同的分配方法共有
C26•C24•C22=90种.
（2）设符合条件的分法共有x种.
把6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本，完成这件事可以分成两步进行.
第一步，把6本不同的书平均分成3份，有x种方法；
第二步，把分成的3份分配给甲、乙、丙3人，每人1份，有A33种方法.
根据分步计数原理和（1）中的结果可得x•A33=C26•C24•C22，
∴x=C26•C24•C22A33=15种.
【例3】 6人排成一排，其中甲、乙、丙3人的次序一定，有多少种不同的排法？
解：设符合条件的排法共有x种.若去掉“甲、乙、丙3人的次序一定”这一条件限制，则上述x种排法中的每一种排法都可以变成A33种不同的方法.而去掉“甲、乙、丙3人的次序一定”这一条件限制，问题就转化为6个元素的全排列.因此x•A33＝A66，
∴x=A66A33
=120种.
【例4】 某实验室有A型的血液2瓶，B型的血液3瓶，AB型的血液1瓶，O型的血液4瓶，同型的血液没有区别.把这些血液排成一排，有多少种不同的排法？
解：设不同的排法有x种.
若把题中的2瓶A型血液替换成2个不同的事物，则上述x种排法中的每一种排法都可以变成A22种不同的排法；同理，若把题中的3瓶B型血液替换成3个不同的事物，则上述x种排法中的每一种排法都可以变成A33种不同的排法；若把题中的4瓶O型血液替换成4个不同的事物，则上述x种排法中的每一种排法都可以变成A44种不同的排法.而经过上述替换之后，问题就转化为10个不同元素的全排列.因此，x•A22•A33•A44=A1010,
∴x=A1010A22•A33•A44=10!2!×3!×4!.
以上三例的解法是把未知的问题作为某个已知的问题的一个步骤，从而化未知为已知，收到了化难为易的效果.这种方法是组合数学中的一种比较典型的处理问题的方法.
(责任编辑 金 铃）
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