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赵少卿，崔 岩，王春娥，王申鹏，卢晨辉
(上海工程技术大学 机械与汽车工程学院，上海 201620)
随着对混沌电路系统研究的不断深入，新型混沌电路系统的建立和发展变得尤为重要[1-4]。电气设备中含有记忆功能的元器件因其丰富的非线性特性，被广泛地用于混沌电路结构设计，含有忆阻元件的混沌电路模型的建立与分析也是近几年混沌电路领域的一个新兴发展方向。文献[5]首次在Chua电路中用分段线性忆阻器代替Chua电路中的二极管，实现了含忆阻器的混沌电路设计。文献[6]基于文氏桥电路，通过元器件替换，设计了一种含忆阻器的超混沌电路系统，并展现出丰富的混沌特性。但是早期学者对含有忆阻器电路系统的研究仅是基于原有的经典电路系统[7-8]。直到2019年，文献[9]设计了一种新型的基于记忆电阻-记忆电容的混沌电路系统。文献[10]提出了一种基于记忆电阻的、具有多重稳定性的混沌电路系统。文献[11]设计了一种含荷控记忆电容的混沌电路系统。然而，上述简单电路系统只包含一个存储记忆元件，目前关于含多个记忆元件的混沌电路的研究较少，特别是包含不同种类记忆元件的混沌电路系统。本文提出了一种兼容串、并联电路的含混沌电路系统，即忆阻和忆感的串联电路与忆阻和忆电容组成的并联电路。该电路模型结构简单，易于实现，且具有7种不同的吸引子形态，能够较好地展现混沌系统所具有的非线性特性，不论是对含记忆元件的混沌电路特性分析还是对系统所具有的混沌特性加以运用，都具有广阔的应用场景。本文以所建立的简单混沌电路模型为基础，通过对不同种吸引子形态的选用，生成对应混沌条件下的混沌序列，完成对图像的加密工作。
量子随机行走在加密通信领域有着广泛的应用[12-16]，特别是图像加密、图像处理方向更是受到研究者的重视[17-18]。量子加密技术相比于传统的加密技术具有加密速度快[19]、加密效果好[20]等优势。量子随机行走方法源于经典的随机行走，于1993年由Aharonov等学者提出，后又将其细分为离散量子行走和连续量子行走。本文主要研究的是离散量子随机行走算法，并在混沌置乱加密的基础上，根据其生成的随机概率分布矩阵进一步完成对图像的置乱。
Chua所定义的忆阻器模型能够描述为[21]：
(1)
其中：x为忆阻器的输出；
y为忆阻器的输入，为忆阻器的状态；
G(.)、H(.)则对应不同种类的记忆元件。基于式(1)所述的模型，本文设计了一类含有两个忆阻元件的简单电路，一种是基于记忆电阻和记忆电感的串联电流控制电路(见图1a)，另一种是基于记忆电阻和记忆电容的并联压控电路(见图1b)，如图1所示。
(a) 含记忆电阻和记忆电感的串联电流控制电路 (b) 含记忆电阻和记忆电容的并联压控电路
图1中：LM和CM分别为记忆电感和记忆电容；
M为记忆电阻。LM(CM)和M在同一个电路系统方程中以G(.)和H(.)表示。通过分析图1中含记忆元件的串并联电路，能够得出式(2)所示的混沌方程：
(2)
在式(2)中，G(.)和H(.)由式(1)定义，C(u)由式(3)所定义[22]：
(3)
(4)
(5)
令式(5)中的参数a=0.001,b=0.005,c=0.5,e=4,β=1，改变参数d,r,α的值能够得到7种不同类型的吸引子形态，每种混沌吸引子在一定的初始条件下都能得到4组不同的混沌序列，为后续的图像加密算法的数据基础。表1计算并给出了7种不同吸引子所对应的系统参数、李雅普诺夫指数及分形维数。
表1 7种不同吸引子所对应的系统参数、李雅普诺夫指数及分形维数
2.1 量子随机行走
本文所研究的量子随机行走方式为离散随机行走，可以表示为：
H=Hw⊗Hc；
(6)
(7)
Si|x〉=|x+(-1)c〉，
(8)
其中：c=0,1。式(8)可以理解为：当投掷状态为|0〉(|1〉)时，量子行走者向右(左)一个单位。本文研究量子行走者在x,y两个方向上的随机行走状态，可以表示为：
(9)
|ψ0〉=|φ0〉w⊗(cosα|0〉+sinα|1〉)c。
(10)
行走N步后，系统状态可以表示为：
(11)
量子行走者出现在某一坐标点(xxyy)的概率[21]为：
(12)
2.2 加密过程
以三色(red green blue，RGB)图为例，简要说明所提出算法的加密步骤。
步骤1：读入图片矩阵P，将图片的R、G、B这3个颜色分量分离成3个M×N矩阵(M，N为图片大小)，记为P-R，P-G，P-B。
步骤2：在所建立混沌电路系统的7种混沌吸引子模型中(共28个混沌序列)，通过一维量子随机行走方法，随机选择3个，用于图像加密的混沌序列，通过龙格-库塔方法对序列进行迭代，使序列长度达到2×M×N,并将获得的混沌序列结果处理使其取值范围为[0,255]，最后将其分为等长的两部分，分别记为S1，S2，S3和S11，S22,S33。
步骤3：用Arnold方法对原图像P-R，P-G，P-B进行置乱操作，同时将置乱后的3个置乱矩阵同S1，S2，S3进行正向扩散，正向扩散结果保存为B1，B2，B3，然后将B1，B2，B3同S11，S22，S33进行逆向扩散，将结果保存为B11，B22，B33。
步骤4：确定了量子行走系统参数N，α，β后，通过在x,y方向上的量子随机行走，生成随机概率分布矩阵P，同时将其大小调整为P1：
P1=resize(P,[mn])。
(13)
通过式(14)将P1内部元素的大小固定在[0,255]内，并得到P2：
k=fix(ReP1×1012)mod256。
(14)
步骤4：将P2中元素降序排列得到检索向量V，通过向量完成对B11，B22，B33的置乱重排、生成，最后将C11,C22,C33合并输出，得到图像加密后的密文矩阵C。
(a) Lena(原图) (b) Baboon(原图)
(c) Lena(密文) (d) Baboon(密文)
3.1 直方图分析
图像的直方图可直观地说明图像像素矩阵中各个颜色分量(R、G、B通道)的灰度值分布状态。为了抵御破译者的明文攻击，密文图像的直方图必须是均匀的，且和加密前图像(明文图像)的直方图有较大的区别。图3为图像R通道的直方图分析结果，其中，图3a和图3b分别为明文图像R通道的直方图分析结果；
图3c和图3d分别为密文图像R通道的直方图分析结果。由图3可知：相比明文图像，密文直方图更均匀，无法从密文图像本身的灰度信息与已知明文的统计规律相比较，因此很难对密文进行破译，从而认为本文所提出的加密算法具有抵御统计分析攻击的能力。
(a) Lena明文图像R通道的直方图分析结果 (b) Baboon明文图像R通道的直方图分析结果
(c) Lena密文图像R通道的直方图分析结果 (d) Baboon密文图像R通道的直方图分析结果
3.2 信息熵与加密质量分析
信息熵用来描述图片的复杂性，是度量信息随机性的一类重要指标，对于强度在0～255的RGB彩色图像，信息熵的理想值为8。图像的加密质量(encryption quality，EQ)定义如式(16)所示，对于大小为512 pixels×512 pixels的图片，EQ的最大值为1 024。
(15)
(16)
表2 密文信息熵分析
其中：xi为某一颜色通道中的某一灰度值；
P(xi)为xi在该颜色通道中的比例；
HL(E)和HL(I)分别为灰度级L在密文图像和明文图像中出现的次数。表2和表3分别计算得到了图片经过本文所述加密算法前后信息熵的对比和图像的加密质量(EQ值)，分析数据不难认为：本文所述加密算法能够实现对图像的加密且加密效果较好。
表3 密文加密质量分析(EQ值)
3.3 相邻像素相关性分析
图片的相关性分析指的是分析图片像素之间的相关联程度。为了避免因少量像素点信息的泄露而导致的对密文图像进行破译，相邻像素点的相关性需降至最小，一般明文图像的像素相关性在1附近，且应使得加密后的密文图像像素相关性趋近于0。相邻像素相关性的计算公式为：
(17)
表4 Lena明文图像的相邻像素相关性分析
表5 Lena密文图像的相邻像素相关性分析
(a) Lena明文图像R通道的相邻像素相关性分析 (b) Lena密文图像R通道的相邻像素相关性分析
通过对表4、表5及图4的分析不难得出：相比于明文图像，密文图像的像素分布毫无规律，且分布均匀，使得密文的破译很难从密文像素的排列规律入手。因此，可以认为该加密算法有效地加强了密文图像的复杂性。
本文根据记忆元件的混沌特性建立了一种含多个记忆元件的简单电路系统，并以此系统为基础提出了一种高安全性的图像加密算法。首先，基于一维量子随机行走，选择混沌电路吸引子模型中的任意混沌序列作为加密基础；
然后，通过二维量子随机行走方法生成随机概率矩阵，进一步完成对图像的加密。通过Lena、Baboon图验证了加密方法的有效性，并通过图像直方图、图像信息熵、加密质量、图像相邻像素相关性分析等方法验证了本文所述加密算法的安全性。本文所做的研究完善了电路混沌系统在通信加密领域中的应用，并将其与量子随机行走方法相结合，增加了混沌系统在通信加密领域内的应用优势。然而，经过本文所述算法得到密文结果的加密质量(EQ值)并不是3个通道均达到峰值，且密文的相邻像素相关性均不为0(仅接近于0)，因此构造一种基于混沌和量子随机行走方法的、新型的、密文安全性更佳的图像加密算法是后续研究的重点内容。
