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贺丰源，周 桐，王锦辉
(上海交通大学 物理与天文学院，上海 200240)
耦合摆作为经典力学中非常有趣的物理现象，在教学中占据重要的地位。通常采用两个轻质刚性杆，一端固定可自由转动，另一端固定一摆锤，两个刚性杆之间由弹簧或弹性片耦合[1]。利用智能手机的传感器搭建的各种居家实验近年来得到广泛开展。例如利用手机和小磁铁可以测量重力加速度[2]，利用手机和蒸笼组成的三线摆可以测量转动惯量[3]。但利用手机传感器来研究耦合摆，尚未见文献报道。
1.1 小角度无阻尼耦合双摆运动方程
耦合摆示意图如图1所示。
图1 耦合摆示意图
两相同的刚性无阻尼振动摆，中间通过一弹簧相连形成耦合摆，由于中央弹簧的作用，耦合摆平衡位置并不是竖直位置，可能位于内侧，也可能位于外侧，这取决于弹簧的情况。
图1中的φ1,φ2表示摆相对于平衡位置的角位移，下面列出耦合摆的运动方程：
记两相同单摆的转动惯量J，质心位置与棒顶端距离为L，弹簧劲度系数为k，耦合点与顶端距离为l，总质量均为m，忽略摩擦，在小角度摆动下，sinφ1≈φ1，sinφ2≈φ2，所以考虑P2不动，对P1有：重力矩：M=mgLsinφ1≈mgLφ1；
弹簧力矩：M′=klΔx=kl×lφ1=kl2φ1。
那么，在摆P2偏离φ2的情况下，如果摆P1向左偏转φ1，这时，作用在摆P1的总力矩为：
(1)
(2)
(3)
(4)
求解(3)、(4)得到：
(5)
(6)
根据(5)、(6)两式，可得到下面三种情况的耦合摆运动：
φ1(t)=φ2(t)=φacosω0t
(7)
得：
φ1(t)=φacosω1t
(8)
φ2(t)=-φacosω1t
(9)
(10)
(11)
(12)
1.2 耦合弹簧的改进
钩码等效替代弹簧示意图见图2。
图2 钩码等效替代弹簧示意图
1.3 摆角的测量
Sebastian Staacks等人利用手机传感器设计开发了手机物理实验软件Phyphox[5](Physical phone experiments缩写)。利用Phyphox手机APP的磁力计可以间接测量摆角的大小，摆角大小与磁感应强度在x方向的分量Bx成正比[6]。因此，在该耦合摆研究实验中，读取磁力计x方向的数据，通过磁力计显示的磁感应强度分量来研究耦合摆随时间的变化规律。
如图3所示，为耦合摆的实验装置。装置主体部分由水平支架，长直木棒，钢针以及重物组成。在烧烤木棒靠近一端处打一小孔，将钢针穿过小孔作为旋转支点，再将钢针固定在水平支架上，在木棒的另一端绑上不锈钢块，在不锈块正下方粘上一块废旧耳机中的小磁铁，这样就形成了一个单摆。相同的方法制作两个单摆，控制两不锈钢针保持合适距离，将尼龙线绑在两木棒的相同位置处，再将钩码挂在尼龙线的中点，即得到一组耦合摆。
图3 耦合摆实验装置
此外要保持智能手机磁传感器位于木棒旋转支点的正下方。在每根木棒上进行距离标定，在距离旋转支点5～60 cm处每隔5 cm做一个标记，方便实验的进行。每根不锈钢针与水平支架边缘垂直，控制长直木棒的摆动方向尽量在与钢针垂直的同一平面内。
3.1 单摆周期测定
取一个单摆，转动一个小角度(1°左右)[6]，在保持稳定的情况下释放利用记录的磁感应强度x轴曲线图读取10个周期的时间长度10T0。同时测定单摆的参数，计算单摆周期的理论值。
如图4所示为测定单摆时Bx随时间的变化，可得T0为1.931 s。单摆转动惯量由木棒与不锈钢块组成，转动惯量J与D=mgL计算公式为：
图4 单摆测量的Bx图像
(13)
(14)
代入参数值，得到J=0.084 kg m2，D=0.918 kg m，可算出周期理论值T=1.901 s,实验值相对误差为1.6%。
3.2 研究耦合强度对耦合摆周期的影响
1.改变耦合点位置
选取质量为50 g的钩码固定于细线中央，将细线悬挂点分别固定于15、20、25、30、35、40 cm，分别研究同相位与反相位振动。
对同相位振动，如图5所示，线性拟合斜率绝对值小于0.01，显示周期与耦合点位置基本无关，也就是与耦合强度基本无关。T平均值为1.83 s即可得到ω0=3.43 s-1。
I/cm
可导出耦合摆反相位摆动周期与耦合距离l的关系：
(15)
l2/m2
根据图6，可得截距为0.297 s-2，根据(15)式，可得ω0=3.43 s-1，与同相位摆动实验中得到的ω0=3.43 s-1一致。
2.改变钩码质量
表1 不同钩码质量耦合下的周期 m0/g
3.3 耦合摆简正振动
如图7所示，可观察到在简正振动的初始条件下，两摆的振幅呈现出“此消彼长”的现象，当摆P1振幅最大时，P2振幅最小，反之亦然。图中可以非常清楚地体现出能量在两摆之间的转移。
t/s
测得的拍周期Tp如表2所示。
表2 不同耦合点位置的“拍”周期
根据测定的数值ω0与Ω2在同一个数量级，根据(12)式，可导出:
(16)
在改变l的过程中，k，ω0，J，均看成不变。图8为利用式16对表2中的数据进行拟合的结果。
1/Tp/s-1
利用智能手机搭建简易耦合摆装置，定量研究了耦合摆的物理规律。在同相振动，反相振动，简正振动这三种初始条件下，可以得到耦合摆运动方程的解析解。通过改变耦合点位置来改变耦合强度，研究了同相位振动与反相位振动频率与耦合点位置的关系，其次对简正振动“拍”现象进行研究，实验结果与推导的理论公式基本一致。
本实验装置简单并且成本很低。与通常只能用于演示的耦合摆实验装置相比，能进行定量测量。实验结果与理论值相对误差较小，可用于疫情期间的居家物理实验。
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