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魏小玲， 冯永保， 韩小霞， 何祯鑫， 郭 杨
(火箭军工程大学 导弹工程学院， 陕西 西安 710025)
在现有的容积式泵中，外啮合齿轮泵主要应用于燃油喷射、汽车润滑和传动系统、高压清洗等液压传动系统中[1]，其优点为结构简单、尺寸小、质量小、制造方便、价格低廉、工作可靠、自吸能力强(容许的吸油真空度大)、对油液污染不敏感以及维护容易[2]。但传统的渐开线外啮合齿轮泵因存在困油现象导致出口流量不均，使泵产生很大的噪声和振动[3]。基于此，研究人员开始研究基于非常规齿廓的圆弧齿轮泵，以便进一步降低出口流量脉动。
周洋等[4]详细介绍了渐开线与圆弧齿廓混合的齿廓设计。MANRING N等[5]、HUANG等[6]研究了正齿轮齿廓参数与流量脉动之间的关系。余佳翰[7]推导了抛物线圆弧直齿轮泵的流量特性，并将抛物线圆弧齿轮切片为无数个圆弧直齿轮的错相位叠加，积分得到其流量特性数学模型。徐其俊[8]对“圆弧-渐开线-圆弧”齿廓的圆弧齿轮泵进行了设计，通过齿廓修正，有效解决了圆弧齿轮泵的困油问题。Li GQ等[9]对“圆弧-正弦曲线-圆弧”齿廓的圆弧齿轮泵分析了其啮合过程。李阁强等[10]对“圆弧-正弦曲线-圆弧”的齿廓曲线的圆弧齿轮泵理论分析了流量脉动情况，得出圆弧齿轮传动的优越性。ZHAO等[11]理论分析了圆弧齿轮泵出口流量脉动为0，但其实验研究结果发现，圆弧齿轮泵仍然存在很小的压力脉动和流量脉动。进而，圆弧齿轮泵装配中存在的中心距误差因改变了齿轮齿面接触位置及接触区域，会对圆弧齿轮泵的出口流量脉动产生很大影响，同时引起振动和噪声。
因此，本研究推导了圆弧齿轮的端面齿廓方程，建立了圆弧齿轮泵内部齿腔压力模型，齿腔容积模型及流量脉动模型，研究中心距误差对圆弧齿轮泵流量脉动的影响。
圆弧齿轮泵结构如图1所示，其结构特点如下[12]：
图1 圆弧齿轮泵结构图
(1) 单一永久接触点 在啮合线上圆弧齿轮平滑运动，不存在渐开线直齿齿轮接触点分离现象，降低了圆弧齿轮的机械噪声；
(2) 无困油现象 圆弧齿轮的每个齿腔完全置换流体，无困油体积，即减少了油液压缩性损失，消除了啮合时泵内部压力突增；
(3) 高压腔和低压腔间由圆弧齿轮组的空间啮合线实现分离，无需在啮合区域设置端面卸荷槽。
图2显示了圆弧齿轮啮合时有无中心距误差时啮合位置的变化。假定主动齿轮产生偏移位置，从动齿轮的偏移位置为0。由图2a可知，理论中心距为L，无中心距误差时，主动齿轮与从动齿轮在M0点啮合。当存在中心距误差(此处为正)时，从动齿轮与从动齿轮在M1点啮合；
图2b是啮合位置的放大视图。
图2 中心距误差下圆弧齿轮齿廓啮合示意图
由于实际操作过程中，主、从动齿轮存在装配误差，及目前数控加工技术水平存在精度误差，本研究选取中心距误差分别为0，0.01，0.02 mm进行研究。
圆弧齿轮采用端面齿廓为“圆弧-渐开线-圆弧”进行研究，齿轮顶部和齿轮根部采用圆弧曲线，齿轮侧面采用渐开线，形成一组共轭曲线[13]。
由于渐开线齿轮齿廓具有对称性，取齿廓的1/2讨论。选取齿轮齿峰最高点A到相邻齿谷最低点D间曲线ABCD作为研究对象。假定基圆圆心O为坐标原点，基圆上任意一点P与圆心O的连线为横轴建立坐标系xOy，如图3所示。该部分曲线由一段渐开线曲线BC与两段圆弧AB，CD组成，其中圆弧AB，CD分别与渐开线相切于B，C点。
图3a中，分别过点B，C作基圆的切线，切点B′，C′。假设基圆半径为r，∠POA、∠POC′和∠POB′分别为θA，θC与θB。任取渐开线上一点Q，过Q点作基圆的切线，设切点为Q′，∠POQ′为α，如图3b所示。
图3 圆弧齿轮齿廓几何模型
由图3b得到渐开线BC段方程：
(1)
式中，α—— 压力角
r—— 基圆半径
圆弧曲线AB段方程为[8]：
(2)
式中，φ1——AB段圆弧角度参数
r1——AB段圆弧半径
圆弧曲线CD段方程为[8]：
(3)
式中，φ2——CD段圆弧角度参数
r2——CD段圆弧半径
N—— 齿数
进而得到，齿顶圆半径ra为：
ra=r·sec(θC-θA)-r·tan(θC-θA)+r·θC
(4)
齿根圆半径rf为：
(5)
其中，
(6)
综上，圆弧齿轮端面齿廓由基圆半径r、张角θA，θC，θB和齿数确定。
为了保证圆弧齿轮泵的连续传动，本研究采用螺旋齿轮。因端面齿廓接触比为0.5，则螺旋接触比CRhelix应大于0.5[14]，
(7)
式中，β—— 齿轮螺旋角
3.1 齿腔容积计算
为了得到圆弧齿轮泵输出流量脉动，需要求解圆弧齿轮在一个旋转周期内的齿腔容积变化，从而计算入口和出口油液流经该齿腔容积的流量。
当主动齿轮逆时针转动φ角度时，圆弧齿轮泵的齿腔容积变化为控制体ABFOsCODDEG的容积变化(见图4)，主要由两部分组成：
图4 控制体ABFOSCODDEG横截面图
(1) 编号为1D和1S的轮齿扫掠体积，假定每次扫掠的体积分别为V1和V2：
(8)
式中，B—— 圆弧齿轮齿宽
ra—— 圆弧齿轮齿顶圆半径
φ—— 主动齿轮逆时针旋转角度
(2) 编号为2D和3S的轮齿扫掠体积，该体积与啮合点C有关。假定主动轮齿扫掠体积为V3，从动轮齿扫掠体积为V4：
(9)
(10)
式中，rD—— 主动齿轮圆心OD到啮合点C距离
rS—— 从动齿轮圆心OS到啮合点C距离
因此，圆弧齿轮泵的控制体容积变化为：
V=V1-V3+V2-V4
(11)
3.2 压力累积方程
在每个齿腔内，压力累积方程[15]为：
(12)
式中，K—— 体积模量
V—— 瞬时齿腔容积
Q—— 流入或流出齿腔的流量
假定相邻齿腔间流体流动为紊流，其交换流量为：
(13)
式中，A—— 节流孔开口面积
ρ—— 齿腔平均压力下的密度
Δp—— 压差
Cq—— 流量系数
假定圆弧齿轮齿顶和端面流体泄漏为层流，考虑库埃特流和泊肃叶流：
(14)
式中，h,Lfld,b—— 泄漏间隙的高度、长度、宽度
us—— 壁面沿流动方向的剪切速度
3.3 圆弧齿轮泵流量脉动模型
根据圆弧齿轮齿廓方程，取齿轮参数如表1所示，建立圆弧齿轮三维模型，进而装配产生中心距误差。
表1 圆弧齿轮参数
在AMESim软件中圆弧齿轮泵整体仿真模型，其中泵参数由圆弧齿轮泵1D模型根据AMESim软件CAD导入功能自动生成，可使圆弧齿廓得到精确计算，如图5所示。在建立圆弧齿轮泵模型1D模型时，圆弧齿轮泵坐标系中心必须位于主动齿轮中心，圆弧齿轮逆时针旋转。根据圆弧齿轮泵模型1D模型，可得到初始关联参数，如表2所示。
表2 泵流量脉动仿真模型1D模型初始关联参数
圆弧齿轮泵整体仿真模型初始参数设置如表3所示。
在圆弧齿轮泵流量脉动仿真模型建立时，主动齿轮与从动齿轮啮合中的每一齿腔都进行了标记，如图6所示。虚线包围的容积分别为主动齿轮与从动齿轮的第4个齿腔容积，记为Dr#4及Dn#4。逆时针旋转，则泵的所有齿腔都得到标记。其中Dr表示主动齿轮，Dn表示从动齿轮，#i(i=1，2,…,7)代表第i个齿间容腔。
图6 齿轮组齿腔标记
在出口压力为2, 6, 8 MPa，恒转速为600, 1480 r/min 的工况下对圆弧齿轮泵进行了流量脉动仿真。
4.1 中心距误差对泵出口流量脉动的影响
图7为中心距误差对泵出口流量脉动的影响。在轻载工况(600 r/min, 2 MPa)下，随着中心距误差的增大， 圆弧齿轮泵的出口流量先增大后减小。当中心距误差在0.01 mm以内时，圆弧齿轮泵的出口流量逐渐增大，具有良好的动态特性。随着中心距误差增大到0.02 mm，圆弧齿轮泵的出口流量大幅度减小，该泵的动态特性变差。在中等负荷工况(1480 r/min，8 MPa)下，随着中心距误差的增大，圆弧齿轮泵的出口流量呈现出与轻负荷工况相同的特性，表明圆弧齿轮泵对中心距误差比较敏感，需将中心距误差控制在一定范围内，从而使圆弧齿轮泵具有较好的动态特性。为了充分发挥圆弧齿轮泵的传动性能，防止中心距误差造成的过度振动，可以通过调整圆弧齿轮的加工精度和装配进行优化。
图7 中心距误差对泵出口流量脉动的影响
4.2 中心距误差对齿腔容积的影响
分别选取主动齿轮与从动齿轮的第四个齿间容腔进行分析。当泵旋转一周时，观测该容腔容积的变化。
从图8发现，当旋转轴从0°开始旋转直到100°左右时，主动齿轮与从动齿轮的第四个齿间容积都保持最大状态。当旋转轴从100°继续旋转时，第四齿腔进入啮合，主、从动齿轮齿腔中的容积逐渐减少，直至减少到零。当旋转轴继续旋转，第四齿腔离开啮合，主、从动齿轮齿腔中的容积逐渐增大，直至达到齿腔容积的最大值。
观察图8发现，从动齿轮第四齿腔较主动齿轮先进入啮合，齿腔容积的变化在旋转到100°左右时，有2个齿腔参与了容积变化，使泵产生有效排量。当中心距误差为0 mm及0.01 mm时，主、从动齿轮的齿腔容积没有发生较大变化。当中心距误差为0.02 mm时，主从动齿轮的第四容腔都提前进入啮合，预示啮合位置发生变化。
图8 中心距误差对齿腔容积的影响
(1) 在不同中心距误差下，分别在轻负荷工况(600 r/min，2 MPa)和中等负荷工况下(1480 r/min，8 MPa)进行流量脉动仿真。结果表明，当中心距误差在0.01 mm以内时， 圆弧齿轮泵的出口流量逐渐增大，具有良好的动态特性。随着中心距误差增大到
0.02 mm，圆弧齿轮泵的出口流量大幅度减小，该泵的动态特性变差。因此，需将中心距误差控制在一定范围内；
(2) 中心距误差为0 mm及0.01 mm时，主从动齿轮的齿腔容积未发生较大变化。当中心距为0.02 mm 时，主、从动齿轮容腔提前进入啮合，啮合位置发生变化；
(3) 该模型可用于进一步了解圆弧齿轮泵局部汽蚀、内部流量泄漏等问题。
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