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李 濛，吴呈瑜，占 敖
(浙江理工大学 信息学院， 杭州 浙江 310018)
频移键控信号(Frequency Shift Keying,FSK)[1]具有产生方法简单、易于实现、可以异步传输和抗噪声能力强的性能，使得多进制频移键控(Multiple Frequency Shift Keying,MFSK)信号在无线通信中得到广泛的应用[2]。
目前对MFSK信号的解调方法主要包括快速傅里叶变换 (Fast Fourier Transform,FFT)[3]、短时傅里叶变化 (Short-Time Fourier Transform,STFT)[4]以及小波变化[5]解调算法。文献[6]中FFT解调器方案是根据同相(I)和正交(Q)样本组成的接收信号输入FFT后，通过选取FFT输出中可选功率最大的位置，对信号进行解调，但该方法的复杂度较高，信号处理效率较低。文献[7]中基于STFT是通过求解信号的能量系数，根据其序列的极大值点对应着时频能量来对信号进行解调，但抗噪性能较差且只对低阶的MFSK信号效果较好。文献[8]基于小波变化对信号进行解调是通过对小波脊线提取进而得到信号的瞬时频率，但小波变化存在小波尺度盲点、抗噪声性能差等问题。文献[9]中MFSK正交解调方案通过对瞬时速率的抽样判决完成对信号的解调，但没有对高噪声的信号进行进一步处理，抗噪能力较弱。近几年有采用神经网络[10-14]对信号进行解调，效果较好，但该方法需要大量数据，且仅针对特定训练的信号效果较好。
本文通过MFSK信号I、Q两路的正交特性和频域特性对信号的信号同步、调制码识别和进制识别进行了研究：通过对信号不同频率点处的功率谱峰值进行检测判决完成了信号同步；
通过信号的正交特性进而对信号斜率进行提取，再根据信号斜率构建差值序列并建立解调的数学模型，完成了调制进制M的识别和调制码的解调。本文的算法复杂度较低且仅呈线性增长，有着较高的信号处理速率和较广应用前景。
MFSK是一种可用多个不同的载波频率代表多种数字信息的调制方式[15]，其表达式为：
(1)
式中，A0为信号幅度，g(n-m)表示基带信号，am∈{1,2,3,…,M}为发送的数据，Δω为载波频率间隔。通过将接收的MFSK信号相干解调处理后，可以得到两路正交的I、Q信号，如式(2)所示：
(2)
根据式(2)中的SI(n)和SQ(n)，进一步建立优化模型求解信号所有码元数的实际信号和设定信号之间的最小频率误差，设定H为频率误差，以信号频率的取值范围为约束条件，则该优化模型可表示为：
|A0sin(akω)-SI(t+(k-1)N:t+k·N)|
s.t.a1
(3)
式中，L为信号的总码元数，ak为信号第k个码元所发送的数据，SQ和SI为信号的同向和正交分量，t为信号的起始点，N为信号的码元长度。
上述问题是一个含离散变量的非凸非线性规划问题，难以获得其最优解[16]，在实际问题中，信号长度往往很长，调制进制也会出现16、32等较高的阶的情况，会进一步增加问题求解的复杂度。本文通过对上述问题进行简化，求解该问题的次优解，进而减少计算的复杂度和计算量。
本文首先计算信号起始点位置，再根据信号的正交性对式(3)中的优化问题进行简化并求其次优解，具体如下：
① 信号同步：首先将MFSK信号通过FFT变化进行信号同步，找到信号的起始点t。
② 信号解调：通过I、Q两路信号的相位正交性得到信号的斜率，根据信号斜率构建差值序列对信号进行建模解调，求解出该问题的次优解。
2.1 信号同步
假设接收到信号的采样率为FS，码速率为C，此时码元长度N=Fs/C，通过FSK信号和FFT的原理可知，通过对长度为N的信号进行FFT，可以得到当前码元的频率值。并根据得到频率值进行判决可以完成信号同步，以下是进行信号同步的步骤，假设数据的起始位置计为t：
① 读取t到t+N的数据，进行FFT；
② 计算出所得功率谱中最大值max(A)及最小值min(A)，并设定需要进行判决的门限D=max(A)/min(A)；
③ 当得到的门限D小于一个设定值，并且此时的最大值max(A)大于一个设定的门限，将其判定为有效信息；
④ 找到当前频率谱中最大的两个值，t值递增，当频率谱中这两个值最接近时，此时t处于符号的中间位置，在向前移动半个码元，即可得到信号的起始位置。
2.2 信号解调
首先将MFSK信号的I、Q两路信号SI、SQ进行反正切运算得到信号的斜率Sv：
(4)
(5)
Sv(x)=pωx，x∈(-kπ/2,kπ/2)，k=1,2,3…，n，
(6)
其中，p∈{a1,a2,a3,…,aM}为发送的数据。
考虑到实际系统中反正切运算量较大，且在FPGA中也难以直接实现，通过式(7)改进算法来简化计算过程[9]：
(7)
通过式(6)可以看出不同频率的信号对应不同的斜率，通过对相邻的两斜率值求差，可得不同频率信号的斜率差值d(k)：
(8)
由于不同频率的信号对应不同的斜率，可以通过斜率差值的数量确定MFSK信号的调制进制M。将得到的M个差值通过式(8)构建差值序列R1～RM，再将信号的斜率Sv通过式(9)进行求差，得到整段信号的斜率差值Sc，并对Sc进行低通滤波以减少高频噪声的影响，最后建立以频率误差H最小化为目标，以差值序列的取值范围为约束的优化模型。
Rk=d(k)·IN,1，
(9)
Sc=Sv(n+1)-Sv(n)，
(10)
(11)
其中，IN,1是长度为码元长度N的单位矩阵，Sc(t+(i-1)·N:t+i·N)为信号的第i个码元。
对于上述优化问题，根据式(8)所得斜率差值，设定不同的门限值，进行门限判决进而求解出每个码元的频点。对信号一个长度为N的码元进行求解的时间复杂度为O(N)，对L个码元的信号建立模型求解的总计时间复杂度为O(LN)，算法复杂度仅呈线性增长。
通过解决式(9)的问题，可确定Sv中每段信号所处的频点，最后再根据MFSK调制映射对照关系解出比特信息。
2.3 算法的实现
首先设定W初始值为0，截取W～W+N信号进行FFT，当功率谱中最大值和最小值的比值不符合判决门限时，W不断递增，直到功率谱中最大的两个值之差最小时，可得信号的起始点为W-N/2，再通过反正切运算得到信号的斜率，并构建差值序列对信号进行建模解调，算法实现的具体流程如图1所示。
图1 算法实现程序流程框图Fig.1 Algorithm implementation program flow diagram
算法实现的伪代码如算法1所示，首先将FFT变化后信号中的最大值result和次大值result1提取出来，并设定判决门限set1和set2，当满足判决门限时且result与result1差值最小时，得到信号起始点为W-N/2，再通过反正切运算得到信号斜率Sv，并求得信号的斜率差值d(k)，最后根据斜率差值，设定不同的门限值，进行门限判决进而求解出每个码元的频点。
算法 1 解调算法输入:接收信号S,I路信号SI,Q路信号SQ,码元长度N输出:Rn码元频点1:functionDemodulation(S,SI,SQ,N)2: W ←03: while1 do4: W ←W+15: c ←min(result)/ 106: result ←FFT(S/(W+(k-1)N:W+N×k),N)7: result1 ←result[find(result =max(result))] = null8: set1←4×mean(result)/min(result)9: set2←5×mean(result)10: D ←max(result)/min(result) 11: ifD < set1 and max(result) > set2 then12: if max(result)-max(result) < cthen13: t ←W-N/214: Break15: end if16: end if17: m ←018: R ←019: L ←length(S)/N20: Sv ←arctan(SI/SQ)21: fork=0 →length(Sv)-1 do22: d(k) ←Sv(k+1)-Sv(k)23: end for24: fori=1 →L do25: ifR≠(∑t+N×ik=t+N×(i-1)d(k)/N) then26: m ←m+127: R(m)←(∑t+N×ik=t+N×(i-1)d(k)/N28: end if29: end for30: for i=1 →Ldo31: fork=1 →mdo32: H(k) ←R(k)-d(t+N×(i-1),t+N×i)33: end for 34: Rn(i) ←min(H)35: end for36: returnRn
为比较本文算法以及文献[17]的算法，设置仿真参数如表1所示。
表1 仿真参数设置Tab.1 Simulation parameter settings
同时设置实验如下：通过Matlab仿真生成2FSK、4FSK、8FSK、16FSK信号，信号的先验信息保持一致，均采用加性的高斯白噪声，信噪比为1 dB步进到12 dB，每个不同信噪比下均进行200次蒙特卡罗试验，分别使用文献[17]算法、传统相干解调[18]和本文算法进行计算。仿真不同进制下的解调误码率，三种算法的误码率曲线如图2～图5所示。
图2 2FSK性能对比Fig.2 2FSK performance comparison
图3 4FSK性能对比Fig.3 4FSK performance comparison
图4 8FSK性能对比Fig.4 8FSK performance comparison
图5 16FSK性能对比Fig.5 16FSK performance comparison
由图2～图5可以看出，本文算法在实验过程中有良好的稳定性和准确性。在低信噪比(<6 dB)时，斜率差值误差较大，导致无法正确地设置判决门限，误码率较高；
在高信噪比(>6 dB)时，2FSK、4FSK、8FSK和16FSK的解调正确率都可以达到90%以上，且表现出很高的稳定性，解调性能优于传统的小波解调和相干解调算法。当面对一个未知的信号时，基于小波变化的解调算法无法事先确定好尺度因子的选择。因此，可以认为本文算法所需先验知识更少，本文算法也更加适用于MFSK信号的解调[19]。
本文提出了一种基于正交MFSK信号的解调算法，首先利用MFSK信号在功率谱中的能量聚集性，对功率谱频率的峰值进行检测判决来完成信号同步，然后利用信号的正交性对信号斜率进行提取，最后根据信号斜率构建差值序列并建立解调的数学模型，完成了调制进制M的识别和调制码的解调。本文算法复杂度较低且仅呈线性增长，仿真结果表明，有较为理想的处理性能和较高的运行效率，适于工程实现。
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