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陈登钱，孔维宾,2，王德智，孔祥晔，平 欣
(1.盐城工学院，江苏 盐城 224051；
2.盐城工学院光电信息技术研究所，江苏 盐城 224051；
3.光驰科技(上海)有限公司，上海 200444)
随着机器人技术的迅速发展，智能机器辅助等成为现代机器人技术的研究热点[1-2]。机器人的使用场合不同，对末端执行器位移、速度等的要求也不尽相同，因此需要对机器人的运行轨迹进行规划以满足其稳定性要求。平面关节机器人广泛应用于汽车等重要行业。关节空间轨迹是针对各关节实时位移角度及连续的运动轨迹，机器人以各关节同时启停为目标，保证关节同时到达指定位置；
而多轴运动插补的总时长取决于运动距离最远轴，并以关节运动时间为基础，其余多轴通过改变规划的最大运动速度与加速度实现时间同步[3-4]。关节空间规划路径中无突变点存在，避免规划中出现瞬时速度过大导致关节运动失控[5-6]。
现有轨迹规划常用的方式包括五次多项式和“S”形轨迹规划[7]等。王川等[8]对五次多项式函数插值方法中轨迹中间点角速度的设置方法提出改进。钱文学等[9]提出一种多节点、多样条曲线运动的轨迹规划方法。由于关节转角范围未确定最优解，同时加加速度轨迹均为不连续曲线，因此在加减速的启动停止瞬间存在突变现象将会导致系统振荡，对机械会产生柔性冲击[10-13]。本文采用双变量反正切函数规划机器人的最优关节转角范围，利用三角函数结合传统“S”形轨迹规划算法，约束运动过程中的最大速度、加速度、加加速度，改善机器人运动过程中由于加加速度非连续轨迹导致的关节驱动力矩的突变，从而保证机器人运动过程的稳定性。
如图1所示，平面关节机器人具有3 个自由度，其中2 个旋转关节，1 个移动关节。为了描述相邻两个坐标之间的位置和姿态，采用D-H模型方法建立坐标系，如图2所示。表1给出了机器人各关节D-H参数。
图1 平面关节机器人结构图Fig.1 Structural diagram of planar joint robot
图2 平面关节机器人D-H模型Fig.2 D-H model of planar joint robot
表1 机器人各关节D-H参数值Tab.1 D-H parameter values of robot joints
以每个关节分别作为坐标原点建立局部坐标系，旋转矩阵表示关节i相对于关节i-1的位姿矩阵变换，其表达式如下：
其中，αi-1表示连杆扭角，由于连杆无自转，所以三关节连杆扭角均为0。表示连杆长度，θi表示关节转角，di表示关节偏置量。
每个关节相对于初始关节坐标系的旋转变换矩阵可以通过若干个关节的旋转变换矩阵乘积表示，即机器人末端关节相对于初始关节坐标系的旋转变换矩阵可以表示为，等式两边同乘，可得，从而得到：
为了有效避免运动学逆解的复杂性及减小逆解的误差，引入双变量反正切函数arctan 2(y,x)，反正切函数相比反正弦和反余弦函数主要有以下优点：①确定唯一解，由于双变量规定了x和y符号，因此能够确定角度所在象限，所以使其在内具有唯一解，避免出现多解情况。②降低逆解的误差，保证逆解的精度，函数y=f(x)的计算误差可以表示为 Δy=Δxf＇(x)。由于f1(x) = arcsinx和f2(x)= arccosx的导数值域范围内都存在趋向于无穷的值，致使Δy变大，而f3(x)= arctanx的导数值域保持在[0,1)的范围内，因此可以保证机器人的精度。
依据式(3)可得：
记S2=sinθ2，由式(3)、式(4)和式(5)可得平面关节机器人关节1、2的转角θ i与关节3的偏移量d3：
当确定机器人末端位姿矩阵时，对于θ2与θ1，关节1与关节2都有两个解，分别对应每个关节电机的正反旋转，因此机器人进行路径规划时，需要对多组解进行最优化选解，使机器人的运动处于最佳状态。如图3所示，由机器人运动准则可得最优选解过程。
图3 机器人最优选解流程图Fig.3 Flow chart of robot optimal selection
使用Matlab Robotic工具箱对机器人末端进行仿真，将机器人末端从初始坐标点运动到目标点。如表2所示，第二组解中，关节1转角，超出关节1的转角允许范围。第二组解中，关节1的转角大于第一组解关节1的转角，依据机器人最优选解准则，选择第一组解作为完成该运动的最优逆解。依据最优逆解，机器人末端运动轨迹及各关节运动曲线图，如图4所示，关节1的位移量与速度比关节2小，并且各关节的运动均匀平稳，速度及位移没有出现突变现象，符合机器人运动的柔顺性要求。
表2 平面关节机器人末端运动逆解Tab.2 Inverse solution of end motion of planar joint robot
图4 机器人各关节运动曲线图Fig.4 Motion curve of each robot joint
3.1 改进“S”形轨迹规划
如图5所示，将“S”形轨迹分为加加速段[0,t1]、匀加速段 [t1,t2]、减加速度 [t2,t3]、匀速段 [t3,t4]、加减速段 [t4,t5]、匀减速段 [t5,t6]、减减速段 [t6,t7]七段。轨迹规划的输入参数包括机器人系统机械性能约束量最大速度Vm、最大加速度Am、最大加加速度Jm及目标轨迹约束的各关节运动位移Qi。假设三个关节中最大位移为Qm，并以该位移规划整体轨迹运行时间，将各关节速度、加速度、加加速度的始、末数值均为0设置为初始条件。
图5 改进“S”形规划轨迹Fig.5 Improved S-shaped trajectory planning
(3)减加速段t∈[t2,t3]。该段轨迹初始加加速度J(t2)为0，加速度为Am，结束时加加速度J(t3)为0，加速度A(t3)减为0，速度达到Vm，根据以上条件可以得到该段时间内的轨迹，即
3.2 关节轨迹规划流程
根据目标轨迹约束条件，匀加速、匀速、匀减速部分时间长度，即T2、T4、T6为0，轨迹规划步骤如图6所示。
图6 关节轨迹规划流程图Fig.6 Flow chart of joint trajectory planning
步骤1：获取机器人运行轨迹参数，包括各关节当前位置P1、目标位置P2、最大速度Vm、最大加速度Am、最大加加速度Jm，判断位移距离最远关节的运动范围
步骤2：根据设定的最大速度与加加速度计算是否能达到目标最大加速度，如果，则调整最大加速度约束量，即
步骤3：判断轨迹中是否存在匀速段，即计算T4>0是否成立，若成立则规划轨迹为完整轨迹，跳转到步骤7。
步骤4：若T4>0不成立，即轨迹无匀速段，最大速度不可达，调整最大速度约束量，其条件为T4=0且S(t7) =Qm，即
步骤5：判断是否存在匀加匀减速段，即计算T2>0，T6>0是否成立，若成立，则跳转到步骤7。
步骤6：若T2>0，T6>0不成立，即轨迹无匀加减速段，最大加速度不可达，调整最大速度与最大加速度的约束量，根据条件T2=0、T4=0、T6=0且S(t7) =Qm，可得
步骤7：根据上述所得最终最大速度与加速度，可以得到最大移动关节的完整轨迹、各段轨迹时间长度T(i)及总时长。
为验证所提出连续有界的多关节改进“S”形时间同步轨迹规划算法，设置平面关节机器人运动路径起始点P1及终止点P2，采集并分析机械臂第一关节期望轨迹与实际反馈的关节运动轨迹。图7(a)的A、B两点表示机器人换向运动阶段，此时机器人关节经历减速、静止、加速三个阶段，由于惯性力和减速器背隙的存在，因此会出现较大的误差波动。如图7(b)、图7(c)所示，传统“S”形轨迹算法出现了较大的误差波动，而改进“S”形轨迹算法的误差变化较为稳定。由此可知，本文所提出的加加速度连续有界的多关节改进“S”形时间同步轨迹规划方法能够正确规划出不同约束条件下的目标轨迹，该方法适用于平面关节机器人连续有界平滑轨迹规划，利用改进“S”形轨迹实现速度、加速度和加加速度有界的连续轨迹规划，避免阶跃与冲击，并且保证规划的最大速度、加速度、加加速度均不超过系统设定的最大限制量。
图7 平面关节机器人第一关节轨迹跟踪曲线Fig.7 Trajectory tracking curve of the first joint of planar joint robot
本文通过引入双变量反正切函数结合运动学逆解的方法规划机器人最优关节转角范围，利用三角函数改进“S”形轨迹规划算法，约束运动过程中的最大速度、加速度、加加速度的限制值，改善了机器人运动过程中由于加加速度非连续轨迹导致关节驱动力矩的突变。相较于传统算法，改进的“S”形轨迹规划算法有效提升了机器人的稳定性，改善了机器人的运动轨迹突变情况。
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