[确定隐含波动率的总变分正则化方法]隐含波动率

【www.zhangdahai.com--就职竞职演讲稿】

  摘 要:求解隐含波动率是一个典型的PDE反问题,传统的Tikhonov正则化方法往往导致解的过度光滑化.基于波动率的跳跃性、隔夜周末效应等及总变分正则化方法具有较好地保持图像边界的优点,本文以Black�Scholes理论为框架,把确定隐含波动率问题转化为一个抛物型方程的终端问题,进一步提出求解隐含波动率的总变分正则化方法,并证明了解的存在性.
  �
  关键词:欧式看涨期权;隐含波动率;Black�Scholes方程;总变分正则化;Tikhonov正则化�
  中图分类号:O175.26 文献标识码:A
  
  
  Total Variation Regularization Method �for Determining Implied Volatility
  
  
  ��
  WANG Shou�Lei,YANG Yu�fei���
  (College of Mathematics and Econometrics, Hunan Univ, Changsha, Hunan 410082, China)
  Abstract: Implied volatilities are more efficient in the long�term prediction of volatilities than the series models. Solving the implied volatility is a typical PDE inverse problem. The traditional Tikhonov regularization method may over�smooth the solution. Considering the jump, overnight, weed�end effect of the volatility and the advantage of the total variation regularization which preserve the edge of the restored image, we put the problem of determining the implied volatility into a parabolic equation of the terminal problem under the Black�Scholes theoretical framework, propose the total variation regularization method and prove the existence to the solution.
  
  �
  Key words:European call options;implied volatility;Black�Scholes equation;total variation regularization;Tikhonov regularization
  ��
  
  波动率是金融经济分析中非常重要的变量, 投资组合选择、资产定价及风险管理等都离不开对波动率的准确度量. 传统的Black�Scholes公式��[1]�以及新兴的美式期权定价公式中股价波动率的统计推断问题在金融方面有相当重要的应用, 一直是人们致力于研究的问题. Black�Scholes理论体系中有一个假设, 认为原生资产波动率�σ�为常数. 然而在实际市场中, 波动率是变化的��[2]�. �
  不同敲定价格和不同期限的期权定价得到的原生资产的隐含波动率��σ为S,t的二元函数. 如何运用期权市场的报价来获取有关未来原生资产波动率的信息是一个典型的�PDE反问题, 也称为IPOP(the inverse problem of option pricing). 一般而言, 反问题是不适定的. 正则化策略是求解不适定反问题的一类重要方法, 而应用最广泛的是Tikhonov正则化方法, 通过加入的正则项对解进行约束或起稳定性的作用.��
  针对单变量σ=σ(S)的情形, �Isakov, Ngnepieba和Jiang等建立了求解隐含波动率的Tikhonov�正则化模型, 并给出了稳定性、解的存在(唯一)性等理论分析; 针对σ=σ(S,t)的情形,�Lagnado和Osher, Carl等, Crepey, Egger和Engl等提出了求解隐含波动率的Tikhonov正则化策略. 然而, 传统的Tikhonov正则化方法可能改变原问题的实时性质( 求正则化近似解时, 用未来的值求现在的值 )或导致解的过度光滑化, 这些缺点在图像处理问题中表现为在复原图像边界处出现模糊. 为此, Rudin等��[3]�基于总变分(TV)正则化具有较好地保持图像边界的优点, 提出了下面的TV�L�2�模型(也称为�ROF�模型):�
  ��min� ��u∈�Ω��λ2‖u-f‖�2��L�2(�Ω�)�+|
  �SymbolQC@u|��L�1(��)�.�
  
  该模型能得到非光滑解, 因而能较好地保持复原图像锐利的边界.�
  �考虑到TV正则化的优点, 本文结合TV正则化策略提出求解Black�Scholes模型中隐含波动率的总变分正则化方法.主要研究如何运用Black�Scholes理论框架, 从期权市场获取的信息去重构在风险中性测度意义下原生资产价格的过程, 也就是导出原生资产价格的隐含波动率.�
  1 总变分正则化方法�
  以欧式看涨期权为例, 本文只讨论σ依赖于S, 而与t无关的情形, 即σ(S,t)=σ(S). 在风险中性测度下, 原生资产价格演化的随机过程可修改为:�
  �d�SS=(r-q)�d�t+σ(S)�d�w�t.�
  
  q为红利率,从而欧式看涨期权U(S,t,K,T)适合下列定解问题: 对于(S,t)∈R�+×[0,T], 有�
  �U�t+12σ�2(S)S�2��2U�S�2+(r-q)S�U�S-rU=0.(1)�
  U(S,t,K,T)|��t=T�=�max� (S-K,0)≡�(S-K)��+.�
   本文研究期权定价反问题, 即通过当前市场�报价��
  U(S�0,t,K,T)=U�*(K,T),K∈R�+,T>0�
  湖南大学学报(自然科学版)2012年
  第4期王守磊等:确定隐含波动率的总变分正则化方法
  
  来确定σ(S). 该问题最早由�Dupire���[4]�提出, 并得到σ的一个显示表达式, 但该表达式对数据的变化异常敏感, 是不适定的, 因此必须对它进行必要的修改. 该问题可表述为问题1:�
  设U(S,t,K,T)为欧式看涨期权的定价, U适合式(1), 当S=S�0,t=0时, 已知�
  U(S�0,t,K,T�0)=U�*(K),K∈R�+,�
  
  式中T�0>0, U�*(K)为关于K的已知函数, 如何确定σ=σ(S)?.�
  考虑到期权平均价格包含更多的市场信息, 问题1进一步修改为问题2:�
  设U(S,t,K,T)为欧式看涨期权的定价, 并且U适合式(1), 假设当S=S�0,t=0时, 已知�
  1T�0�∫�T�0�U(S�0,t,K,T)�d�T=U�*(K),K∈R�+.�
  
  式中T�0>0, U�*(K)为关于K的已知函数, 如何确定σ=σ(S)?.�
  式中:1T�0�∫�T�0�U(S�0,t,K,T)�d�T的金融意义是指0到T�0这一段时间所有固定敲定价格和不同到期日的期权价格U的平均, 即平均期权价格. �
  对于问题2, 可按照�Dupire提出的思路, 利用Green函数性质将其转化为一个“终端”控制问题: ��
  设U(S,t,K,T)为欧式看涨期权的定价, 令�
  G(S,t,K,T)=��2U�K�2,�
  
  则G满足�
   �G�t+12σ�2(S)S�2��2G�S�2+(r-q)S�G�S-rG=0, (2)�
  G(S,t,K,T)=δ(K-S). (3)�
  
  因为δ(x)=δ(-x), 因此G(S,t,K,T)为式(2)的基本解. 因而G作为K和T的函数为式(2)的共轭问题的基本解, 即对T∈(t,+
  �SymboleB@)和�K∈(t,+
  �SymboleB@)�满足�
  �G�T=12��2�K�2(K�2σ�2(K)G)-(r-q)��K(KG)-rG, (4)�
  G(S,t,K,T)|��T=t�=δ(K-S). (5)�
  
  对式(4)关于K进行两次积分, 可得�
  U�T=12K�2σ�2(K)U��KK�-(r-q)KU�K-qU,�
  U(S,t,K,T)|��T=t�=�(S-K)��+,�
  (T,K)∈(t,+
  �SymboleB@)×(0,
  �SymboleB@).�
  
  于是求σ=σ(S)的问题进一步转化为问题3:�
  U(K,T):=U(S�0,0,K,T)满足定解问题:�
  U�T=12K�2σ�2(K)U��KK�-(r-q)KU�K-qU,�
  U(K,T)|��T=0�=�(S�0-K)��+,�
  (T,K)∈(t,+
  �SymboleB@)×(0,
  �SymboleB@).�
  
  假设函数1T�0�∫�T�0�U(S�0,t,K,T)�d�T=U�*(K)已知, 如何求σ=σ(S)?
  �
  
  
  作变换�
  y=�ln� KS�0,τ=T,V(y,τ)=U(S�0,0,K,T)S�0,�
  
  并令a(y)=12σ�2(K) (记T=T�0), 实际市场中, 假设K为有界的, 即假设y∈[A,B], 记区间为�Ω�,则V(y,τ)满足如下问题: 对于y∈�Ω�, τ∈(0,T],有�
  V�τ-a(y)(V��yy�-V�y)+(r-q)V�y+qV=0, (6)�
  V(y,0)=�(1-�e��y)��+,y∈�Ω�.(7)�
  1T�∫��T�0V(y,τ)�d�τ=V�*(y).�
  
  这里V�*(y)=U�*(K)S�0.�
  本文将V(y,τ)看作关于a(y)的非线性算子并且假设它是连续的,基于波动率的跳跃性,隔夜周末效应等及总变分正则化方法在图像处理中的优点,提出求隐含波动率的总变分正则化方法:�
  求∈�Λ�使得�
  T()=��min� ��a∈�Λ��12∫��Ω�|1T�∫��T�0V(y,τ)�d�τ-�
   V�*(y)|�2�d�y+N2J(a)+μ2G(a),�
  
  式中:�
  J(a)=∫��Ω�|
  �SymbolQC@a|�d�y,G(a)=∫��Ω�|
  �SymbolQC@a|�2�d�y.�
  
  N和μ都是正则项系数, 当a为单变量函数时,
  �SymbolQC@为a",其它情形表示梯度算子, C为常数,�Λ�={a(y)|0≤a≤C,
  �SymbolQC@a∈L�p(�Ω�),1≤p≤2},V(y,τ)是式(6)和式(7)中任意给定a∈�Λ�所对应的解. 考虑到平坦区域|
  �SymbolQC@a|≈0, 利用|
  �SymbolQC@a|�β=|
  �SymbolQC@a|�2+β�2代替|
  �SymbolQC@a|, 这里β为很小的数. 从而相应的总变分正则化问题修改为�
  T()=��min� ��a∈�Λ��12∫��Ω�|1T�∫��T�0V(y,τ)�d�τ-�
   V�*(y)|�2�d�y+N2J�β(a)+μ2G(a),(8)�
  
  式中:J�β(a)=∫��Ω�|
  �SymbolQC@a|�2+β�2�d�y.�
  据L�p范数的定义, 极小化问题(8)等价于: �
  T()=��min� ��a∈�Λ��12‖1T�∫��T�0V(y,τ)�d�τ-V�*(y)‖�2��L�2(�Ω�)�+�
  N2J�β()+μ2‖
  �SymbolQC@a‖�2��L�2(�Ω�)�, (9)�
  极小化问题式(9)与标准的�Tikhonov�正则化完全不同, 因为∫��Ω�|
  �SymbolQC@a|�2+β�2�d�y涉及到了无界变分. �Groetsch��[5]�在Tikhonov�方法基础上提出逼近无界变分算子的概念, 通过L�(I+γL�*L)��-1��La近似La, 其中L�(I+γL�*L)��-1��L:D(L)�H�1→H�2是从�Hilbert空间H�1映射到Hilbert�空间H�2的封闭无界线性算子.�
  这个“稳定”的算法中, L�*为L的伴随算子(�Hilbert�空间H�1和H�2), γ为正则化参数. 通过引入�Groetsch�的思想来逼近极小化问题(9),
  �SymbolQC@a用稳定的近似L�γa=L�(I+γL�*L)��-1��La来代替, 其中L�*是L的L�2伴随, 这样式(9)就演变为如下极小值问题: �
  T()=��min� ��a∈�Λ��12‖1T�∫��T�0V(y,τ)�d�τ-V�*(y)‖�2��L�2(�Ω�)�+�
  N2J��βγ�(a)+μ2G�γ(a). (10)�
  我们也可以用其它有界算子来替代a→
  �SymbolQC@a,例如差商和有限元方法。已知�Ω�=[A,B]为R中有界区域, 在接下来的存在性证明中进一步假设L�γ:L�2(�Ω�)→L�2(�Ω�),�γ>0是有界线性算子.
  2 解的存在性�
  引理1��[6]�若序列{a�n}弱收敛于a�*, 则序列{a�n}对应于式(6)和式(7)的解{V(a�n)}弱收敛于V(a�*).�
  引理2��[7]�设1≤q≤
  �SymboleB@. {f�k}在L�q(�Ω�)中弱收敛于f, 当且仅当�
  1){f�k}在L�q(�Ω�)中有界;�
  2)��lim� ��k→
  �SymboleB@�∫�Ef�k�d�x=∫�Ef�d�x对每个可测集E��Ω��成立.��
  推论1 若序列{a�n}有弱收敛的子序列{a��n�l�}, 则{a�n}相对应的{�∫��T�0V�n(y,τ)�d�τ}亦有弱收敛子序列{�∫��T�0V��n�l�(y,τ)�d�τ}.�
  定理1 对于极小化变分问题:�
  T()=��min� ��a∈�Λ��12‖1T�∫��T�0V(y,τ)�d�τ-V�*(y)‖�2��L�2(�Ω�)�+�
  N2J��βγ�(a)+μ2G�γ(a). �
  
  至少存在一个极小元∈�Λ�.�
  证明 假设不存在极小值, 则存在一组序列{a�n,V�n},使得�
  12‖1T�∫��T�0V�n(y,τ)�d�τ-V�*(y)‖�2��L�2(�Ω�)�+�
  N2J��βγ�(a�n)+μ2G�γ(a�n)→q:=�
  ��inf� ��a∈�Λ��{12‖1T�∫��T�0V(y,τ)�d�τ-V�*(y)‖�2��L�2(�Ω�)�+�
  N2J��βγ�(a)+μ2G�γ(a)}.�
  
  但对�a∈�Λ�, 有�
  q<12‖1T�∫��T�0V(y,τ)�d�τ-V�*(y)‖�2��L�2(�Ω�)�+�
  N2J��βγ�(a)+μ2G�γ(a),�
  
  即q为序列的下确界, 但序列不能取到q. 因为序列{a�n}在L�p(�Ω�)中有界, 所以它在L�p(�Ω�)中有弱收敛的序列{a�m}收敛于, 又因为我们假设L�γ是有界线性算子, 所以它在L�p(�Ω�)中同样弱连续L�γa�m收敛于L�γ, 并且对应的V�n有相应的弱收敛子列V�m收敛于, 由范数的弱下半连续性:�
  12‖1T�∫��T�0(y,τ)�d�τ-V�*‖�2��L�2(�Ω�)�≤�
   12�lim inf� ‖1T�∫��T�0V�m(y,τ)�d�τ-V�*‖�2��L�2(�Ω�)�,�
  ∫��Ω�|L�γ|�2�d�y≤�lim inf� ∫��Ω�|L�γa�m|�2�d�y.�
  
  因此存在序列{a�m,V�m}的子序列组{a��m�l�,V��m�l�}, 使得�
  ��lim� ��l→
  �SymboleB@�‖1T�∫��T�0V��m�l�(y,τ)�d�τ-V�*‖�2��L�2(�Ω�)�≤�
   ��lim� ��m∈�Ν�� �inf� ‖1T�∫��T�0V�m(y,τ)�d�τ-V�*‖�2��L�2(�Ω�)�,�
  ��lim� ��l→
  �SymboleB@�∫��Ω�|L�γa��m�l�|�2�d�y≤��lim� ��m∈�Ν��∫��Ω�|L�γa�m|�2�d�y.�
  
  
  
  根据文献[8],凸函数f(x)=|x|�2+β�2满足 �
  |x|�2+β�2=��sup� ��|y|≤1�x・y+β1-|y|�2.�
  
  则有�
  
  ∫��Ω�|L�γ|�2+β�2≤��sup� ��v∈��∫��Ω�L�*�γv+β1-|v|�2,�
  
  式中v∈�:={v∈L�2(�Ω�,R):|v|≤1}.�
  
  对于所有的v∈��
  ∫��Ω�L���*�γv+β1-|v|�2=�
   ��lim� ��l→
  �SymboleB@�∫��Ω�a��m�l�L�*�γv+β1-|v|�2≤�
   ��lim sup� ��l→
  �SymboleB@�∫��Ω�|L�γa��m�l�|�2+β�2,�
  
  进而有�
  
  ∫��Ω�|L�γ|�2+β�2≤��lim sup� ��l→
  �SymboleB@�∫��Ω�|L�γa��m�l�|�2+β�2.�
  综上所述, 有�
  12‖1T�∫��T�0(y,τ)�d�τ-V�*‖�2��L�2(�Ω�)�+�
   N2∫��Ω�|L�γ|�2+β�2�d�y+μ2∫��Ω�|L�γ|�2�d�y≤�
  ��lim sup� ��l→
  �SymboleB@�{12‖1T�∫��T�0V��m�l�(y,τ)�d�τ-V�*‖�2��L�2(�Ω�)�+�
   N2J��βγ�(a��m�l�)+μ2G�γ(a��m�m�)}≤q.(11)�
  式(11)与假设矛盾. 所以存在极小值, 证毕. ��
  3 结 论�
  以Black�Scholes理论为框架, 从期权市场获取的信息去重构在风险中性测度下原生资产价格的过程, 在Tikhonov正则化方法的基础上, 将总变分正则化方法引入到隐含波动率的求解模型中, 提出了基于总变分正则化方法的最优控制模型;通过极小化目标函数来求解原生资产价格的隐含波动率, 并证明了解的存在性定理. 总变分正则化模型较Tikhonov正则化模型有利于保持跳变边缘, 从而更加精确地度量隐含波动率.参考文献�
  [1] 姜礼尚. 期权定价的数学模型和方法[M]. 北京: 高等教育出版社,2003:74-193.�
  JIANG Li�shang. Mathematical modeling and methods of option pricing [M]. Beijing: Higher Education Press, 2003:74-193.(In Chinese)�
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