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张中昊，段皓鹏，于艳春，支旭东，范 峰
(1. 东北农业大学水利与土木工程学院，哈尔滨 150030；
2. 哈尔滨工业大学土木工程学院，哈尔滨 150090)
传统的四边形网壳的刚度较低，稳定性较差，难以实现大跨度，随着时代的进步，柱面网壳结构的跨度越来越大，形体越来越丰富，与此同时，结构稳定性问题日益突出。此外由于结构在设计、施工、使用过程中存在着各种不确定因素，会直接或间接地影响到结构的稳定，因此有必要对结构的可靠性进行分析。蔡建国等[1-2]研究了各种参数对索拉单层柱面网壳的静力稳定性的影响。曹正罡等[3]对柱面网壳的弹塑性稳定性进行了相关研究，总结了初始几何缺陷等因素对结构稳定性能的影响规律。马会环等[4]研究了各个参数变化对铝合金半刚性椭圆抛物面网壳极限承载力的影响规律。殷志祥和李会军[5]研究了拉索预应力对单层球面网壳的稳定性。董石麟等[6]研究了蜂窝三撑杆型索穹顶结构的受力特性。冯若强等[7]提出了一种索支撑空间网格结构的优化方法。薛素铎等[8]提出了无环索预应力索支结构新体系并分析了其结构特点。SHEKASTEHBAND 等[9]研究了考虑几何非线性和材料非线性的张拉整体系统对构件逐渐和突然损失的敏感性。CHEN 等[10]从结构构件和对称子空间两个层次系统地评价了张力结构的刚度贡献。蔡建国和冯健[11]对张拉结构的多平衡态进行了研究。张中昊等[12]进行了新型索撑单层球面网壳选型及其预应力张拉模拟研究。陈志华[13]概述了弦支穹顶结构的结构原理。郭佳民等[14]分析了不同布索形式对弦支穹顶结构稳定性能的影响。田伟等[15]提出了一种考虑杆件失稳的网壳结构稳定分析方法。范峰等[16]分析了考虑杆件失稳对结构稳定性的影响。支旭东等[17]研究了初始缺陷对球面网壳静力稳定性的影响。陈惠亮等[18]提出了静力问题结构可靠度的分析方法。肖南等[19]利用响应面法研究了索杆张力结构在极限状态下的可靠度。陈学前等[20]研究了响应面法在结构参数灵敏度及可靠度分析中的应用。
为丰富柱面网壳的结构形式，从力学角度出发，根据双向网格的特点，本文通过在柱面网壳面外布置弦杆和拉索形成张弦结构体系，研究各种参数变化对其稳定承载力的影响，并分析面、内外拉索布置下结构在承载力失效及变形失效两种形式下的可靠度，为工程实际提供理论依据。
1.1 拉索布置方案说明
针对传统的双向网格型单层柱面网壳，本文提出了一种新型的布索方式，即在双向网格面内布置对角斜拉索，面外布置弦杆和拉索形成张弦结构体系的方案，通过刚性网壳和柔性高强拉索组成刚柔复合型空间结构体系，以此来提高结构的整体稳定性和刚度。
取4×4 网格为结构简图对结构拉索布置方案进行说明，取模型中2×2“田”字形网格作为一个结构单元，面内布置对角斜拉索，并在“田”字中心关键点下方布置三角形弦杆，使三角形顶点与“田”字中心重合，将三角形弦杆两端与“田”字四角顶点通过四根拉索连接，形成张弦双向网格型单层柱面网壳结构，其中每个“田”字形结构单元沿双向网格对角线布置，如图1 所示。
图1 模型示意图Fig. 1 Model diagram
1.2 结构建模
本文利用大型通用有限元软件ANSYS 对结构进行建模和分析，确定结构建模基本参数：跨度B，矢高f，纵向划分网格数NF_len，横向划分网格数NF_spa。据此确定柱面网壳的半径R和柱面圆心角度Angle以及长度L分别为：
通过式(1)～式(3)以解得模型关键点坐标位置，利用循环语句求得关键点坐标矩阵。模型纵、横向杆件及下部弦杆全部采用Φ146×8 的钢管，面内、面外拉索均采用Φ20 的钢棒，材料均为Q345 钢材，弹性模量为2.06×105MPa，密度为7850 kg/m³。对纵边外侧节点施加x、y、z方向的位移约束，横边外侧节点施加y、z方向的位移约束。
1.3 分析方法
在进行非线性分析时，考虑到模型几何非线性和材料非线性以及初始缺陷的影响，结构中所有刚性杆件全部选用Beam189 梁单元，该单元为3 节点二次有限应变梁，基于Timoshenko 梁理论[12]，适用于线性、大转角，非线性大应变等情况，各梁单元之间采用刚性连接；
柔性拉索选用Link180 杆单元，该单元具有塑性、大变形、大应变等特性，模拟拉索时设定为仅在受拉时具有刚度，各单元铰接于节点；
均布荷载通过Mass21 质量单元简化为节点集中质量荷载施加在模型各个节点上。
式中：t为时间；
Δt为时间增量；
i为迭代次数；
λ 为荷载因子；
Δλ 为荷载因子增量；
ΔL为荷载的增量弧长；
U(i)为当前位移；
ΔU(i)为当前位移的迭代增量。
2.1 拉索布置效果分析
为验证该种布索方式对结构稳定性的影响，取跨度B=40 m，划分网格数为10×10，矢跨比为1/5，张弦高度为f/4 的模型进行分析，求得4 种模型的荷载-位移全过程曲线和结构在极限状态下变形云图，验证该种布索方式的有效性及合理性。
4 种模型的拉索布置方案见表1，图2 给出了4 种模型的荷载-位移全过程曲线，可以看出，模型4 较模型1 的极限承载力提高比例为534%，表明面内、外均布置拉索对模型的承载力提高明显，而在面内布置拉索的模型承载力较模型1 提高比例仅为26%，承载力提高并不显著。在位移方面，模型1 在极限荷载时对应的位移为1.028 m，模型2、模型3、模型4 在极限荷载下的位移分别为0.441 m、0.121 m、0.133 m，可见面内、外拉索的布置可以有效约束结构变形。对比模型3 和模型4，可以发现模型3 在极限荷载时的位移较模型4 降低了9%，而模型4 的极限承载力较模型3提高了16%，另外由于拉索仅为20 mm 的钢棒，所以用钢量少，经济性好，因此模型4 应该为该模型的最佳布索方案。
表1 模型拉索布置方案Table 1 Cable arrangement of models
图2 模型荷载-位移曲线Fig. 2 Load-displacement curves of the model
图3 为4 种模型在极限状态情况下的位移云图，变形已放大10 倍以便于观察。可以看出，4 种模型的变形均呈现出了中间凹陷而两边凸起的特征，这表明拉索的布置并未改变模型的变形特点。从模型3 和模型4 的云图中可以发现拉索的布置明显降低了结构的位移，改善了结构的变形，提高了结构的稳定承载力和刚度。
图3 4 种模型变形分布云图Fig. 3 Four kinds of model deformation distribution cloud map
2.2 不同参数对静力性能的影响
计算模型的各个参数范围见表2。
表2 模型参数Table 2 Model parameters
2.2.1 跨度的影响
取40 m、50 m、60 m 跨度的网壳进行非线性静力求解，获得各跨度下的结构荷载-位移全过程曲线如图4 所示。表3 列出了不同跨度模型在有拉索和无拉索的情况下极限承载力及提高比例情况。
表3 不同跨度模型极限承载力Table 3 Critical load of models with different spans
图4 不同跨度网壳荷载-位移全过程曲线Fig. 4 Load-displacement curves of shells with different spans
可以发现在3 种跨度下，模型4 较模型1 的极限承载力提高了5 倍多，承载力提升效果显著，特别是在60 m 跨度下，极限承载力提高了744%，这表明极限承载力提高比例随模型跨度的增大而增加，拉索的布置增强了结构的刚度，该种布索方式可以适用于大跨度空间结构。
2.2.2 拉索预应力的影响
本文采用虚拟温度法[5]对拉索施加预应力，此种方法是在结构单元上施加温度荷载来模拟预应力的施加，预应力计算表达式为：
式中：EA为拉索的抗拉刚度；
αL为钢材线膨胀系数；
ΔT为温度增量。
取40 m 跨度，矢跨比为1/5 的模型为算例，并考虑1/700B的初始缺陷，考察模型拉索在施加0 kN～40 kN 范围内预应力的情况下结构的极限承载力和竖向位移变化情况，其荷载-位移曲线如图5所示，表4 给出了施加不同预应力情况下的分析结果。从荷载-位移曲线可以发现，随着拉索预应力的不断增大，结构的极限承载力也不断增加，对应最大位移在不断减小。由表4 可知，当施加预应力达到40 kN 时，结构的极限承载力与施加0 kN预应力相比提高了7%，其对应最大位移降低了25%，这说明对拉索施加一定的预应力可以增强拉索的效果，有效地限制结构的变形，使得结构受力更加均匀，提高了结构的稳定承载力和刚度。
图5 预应力下结构荷载-位移曲线Fig. 5 Load-displacement curves under cable prestress
表4 不同预应力下的分析结果Table 4 Analysis results of models under different prestresses
图6 给出了施加预应力后结构的变形分布云图，变形放大20 倍以便于观察，可以看出，拉索施加预应力之后明显改善了结构的变形，有效约束了结构两侧外凸和中部凹陷的趋势，减小了结构的位移，说明预应力的施加对结构起到了有利的效果，但在实际施工中预应力不宜过大，过大的预应力会使杆件预先产生变形，对结构不利。
图6 预应力下网壳变形云图Fig. 6 Deformation cloud map of reticulated shells under prestress
2.2.3 矢跨比的影响
图7 给出了3 种跨度在不同矢跨比下的最大位移变化情况，可以发现，这类网壳对矢跨比的变化较敏感。三种跨度均在矢跨比为1/7 时的最大位移达到最小，最大位移在矢跨比为1/4 时达到最大，尤其对于跨度为50 m 的网壳，在矢跨比为1/4 时结构的最大位移发生突变，达到了43.86 cm。因此可以确定矢跨比越大，拉索作用越弱，对结构变形就越不利。矢跨比也不宜过小，这样会使得结构过于扁平，不能充分发挥柱面结构形式受力的特点。
图7 不同矢跨比下结构节点最大位移变化曲线Fig. 7 Maximum displacement curves of models with different vector width ratios
2.2.4 初始缺陷的影响
在大跨度结构设计施工中，初始缺陷是不可避免的，因此要充分考虑其对结构产生的不利影响。取40 m 跨度，矢跨比为1/5 的网壳模型为算例，运用特征值缺陷模态法[17]对结构进行初始缺陷的分析，将结构的最低阶特征屈曲模态作为初始几何缺陷的最不利分布模式。分别取网壳跨度B的1/250、1/300、1/500、1/700、1/900 作为缺陷值r，求解获得结构的荷载-位移曲线如图8 所示，可以发现，当r/B=1/900 时的曲线与无缺陷的曲线基本重合，当缺陷增大到r/B=1/500 时结构的极限承载力开始下降，结构受初始缺陷影响较明显，说明本文提出的该种布索方案的网壳属于缺陷敏感类结构。
图8 不同初始缺陷下结构的荷载-位移曲线Fig. 8 Load-displacement curves of models of different degrees of initial imperfection
2.2.5 拉索强度的影响
拉索的强度是影响结构承载力的重要因素，分析结构体系对拉索强度的敏感程度可以有效控制拉索的截面，采用高强度的拉索可以减少用钢量，降低结构自重，对结构的稳定性有利。取40 m跨度的模型进行分析，拉索直径取10 mm，求解获得不同拉索强度下结构的荷载-位移曲线如图9所示，可以发现，随着拉索强度的提高，结构的极限承载力逐渐增大，当拉索强度增大到1600 MPa时，结构的极限承载力提高了81%，可见拉索强度的提高对结构极限承载力的影响显著。
图9 不同拉索强度下的结构-荷载位移曲线Fig. 9 Load-displacement curves of models of different cable strengths
2.2.6 张弦高度的影响
张弦高度的大小会影响结构的受力和采光以及结构用钢量的多少。取跨度40 m 矢跨比为1/5 的网壳为算例进行分析，得到张弦高度在(1/10～1/2)f范围内的极限承载力和用钢量如表5 所示。发现结构的极限承载力随张弦高度的增加而增大，用钢量也随之增加，三者呈现出明显的线性正相关趋势，因此张弦高度的大小应考虑工程实际和经济状况。
表5 极限承载力和用钢量随张弦高度变化结果Table 5 Variation of ultimate strength and amount of steel with height of string
取B=100 m 和B=120 m 大跨度模型对结构进行验证，对应划分网格数分别为20×20 和24×24，矢跨比为1/5，施加1/700B的初始缺陷，张弦高度分别取矢高的1/10 和1/12，模型纵、横杆件以及下部弦杆全部采用截面为Φ325×12 的圆钢管，拉索为Φ20 的钢棒。
分析结果如表6 所示。可以发现，在100 m跨度下，模型4 较模型1 的极限承载力提高了260%。极限点的位移也明显减小，从2.819 m 减小到0.541 m；
当跨度增加到120 m 时，结构极限承载力提高更加明显，达到了335%，极限点位移从3.806 m 降低到0.326 m。大跨度算例表明拉索的布置可以适用于更大跨度的模型。图10 给出了两种大跨度下的结构位移云图，结构变形依然呈现出中间凹陷两边凸起的特点。
图10 大跨度模型变形分布云图Fig. 10 Large-span model deformation distribution cloud map
表6 大跨度算例分析结果Table 6 Analysis results of large-span calculation examples
4.1 响应面法
本文采用响应面法实现对结构在极限状态下的可靠性分析。其基本思想是通过一系列试验试图拟合一个响应面近似地表达一个未知函数，当输入变量和输出响应之间存在某种联系时，通过响应面法即可反映这种联系。为了用二次多项式表示的响应面函数更好地去拟合真实的响应函数，本文采用考虑交叉项的二次多项式[19]：
式中：a、bi、ci和di(i=1,2,···,n)为待定系数，对于n个变量的响应面函数待定系数的求解是通过2n+2n+1 次的有限元分析得到真实功能函数值，然后代入式(7)，线性回归得到响应面函数的系数，最终确定各输出变量的响应面函数。
通过对响应面函数的蒙特卡罗模拟即可获得各输出变量的统计参数。
蒙特卡罗模拟[21]的基本步骤为:假设结构功能函数为Z=g(x)，基本随机变量X的联合概率密度函数为f(x)，按照f(x)对X进行随机抽样，用得到的样本值x来计算功能函数值Z=g(x)，Z< 0 代表结构失效一次，若总共模拟了N次，Z<0 出现了n次，于是结构失效概率为Pf=n/N。
MATTLAB 求解可靠指标[21]过程为：采用ANSYS 概率分析模块得到结构的响应面方程可近似视为极限状态方程，目标函数为：
本文考虑结构在承载能力失效和变形失效两种失效形式下的可靠度，两种失效形式下的功能函数分别为：
承载力失效下的功能函数：
4.2 结构的失效形式
式中：Pcr为结构的真实抗力；
[P]为按照《网壳结构技术规程》(JGJ-2003)计算所得结构的承载力设计值，即考虑结构几何非线性和材料线弹性，同时施加1/300B的初始缺陷所求得的结构稳定承载力。
变形失效下的功能函数：
式中：Umin为结构中位移绝对值最大值；
[Δ]为国家相关规范规定的最大位移限值，计算取B/400。
4.3 计算模型和随机变量参数
取40 m、60 m、100 m 跨度模型进行可靠度分析。主要随机输入变量有密度，弹性模量，拉索强度，拉索预应力，弦杆内、外径共6 个变量，随机变量的统计特性主要参考文献[21]，各随机输入变量如表7 所示。
表7 随机输入变量统计特性Table 7 Statistic characteristics of input random variables
4.4 求解结果与分析
4.4.1 承载力失效结果分析
利用ANSYS 概率分析系统和MATLAB 求解获得3 种跨度结构在承载力失效形式下的失效概率和可靠指标见表8～表10。
表8 40 m 跨度承载力失效分析结果Table 8 Strength failure analysis results of 40 m span
表9 60 m 跨度承载力失效分析结果Table 9 Strength failure analysis results of 60 m span
表10 100 m 跨度承载力失效分析结果Table 10 Strength failure analysis results of 100 m span
对于40 m 和60 m 跨度，基于承载力失效形式在ANSYS 中求解得到结构极限承载力的响应面方程。根据响应面方程可计算出置信水平为0.95，极限承载力大于[P]的可靠度：变量均值点作为迭代计算的初始点，应用MATLAB 求解可靠度，迭代计算的结果为可靠指标分别为β=5.0760和β=4.7401。由ANSYS 采用蒙特卡罗抽样法得到样本点，继而得到失效概率，根据失效概率和可靠指标的关系由MATLAB 程序计算出的可靠指标分别为β=5.0967 和β=4.7535。两种方法计算的结果误差小于0.5%，因此可以认为结构在40 m 和60 m 跨度下是不会失效的，跨度小于60 m 的网壳其承载力和变形的可靠度可以得到保证。但对于100 m 跨度，两种算法求得可靠度分别为β=1.2666和β=1.6344，误差较大，为29.04%，因此，可以认为结构在100 m 跨度下的可靠度难以得到保证，当跨度大于100 m 时，拉索的效果会相对减弱。
表11～表13 和图11～图13 给出了各随机变量对结构稳定承载力的灵敏度和相关系数以及灵敏度分布图。
图11 40 m 跨度承载力的灵敏度分布图Fig. 11 Sensitivity distribution diagram of ultimate strength of 40 m span
图12 60 m 跨度极限承载力的灵敏度分布图Fig. 12 Sensitivity distribution diagram of ultimate strength of 60 m span
图13 100 m 跨度极限承载力的灵敏度分布图Fig. 13 Sensitivity distribution diagram of ultimate strength of 100 m span
表11 40 m 跨度随机变量与承载力之间的灵敏度和相关系数Table 11 Sensitivity and correlation coefficient between random variables and strength of 40 m span
表12 60 m 跨度随机变量与极限承载力之间的灵敏度和相关系数Table 12 Sensitivity and correlation coefficient between random variables and strength of 60 m span
表13 100 m 跨度随机变量与极限承载力之间的灵敏度和相关系数Table 13 Sensitivity and correlation coefficient between random variables and ultimate strength of 100 m span
从灵敏度分析图可以看出在40 m 和60 m 跨度下拉索对结构稳定承载力的影响非常显著，拉索强度是结构极限承载力的主要影响因素，灵敏度占比分别为99.41%和99.97%，结构承载力随拉索强度的增加而提高，两者呈现出明显的线性关系。相关系数的正负可以表示变量与结构稳定承载力之间是正相关还是负相关，相关系数的大小可以反映相关性的大小，可以看出拉索强度与稳定承载力之间的相关性最强，且呈正相关；
在100 m 跨度下，拉索的效果减弱，拉索强度的灵敏度占比为64.34%。弹性模量和弦杆内、外径的影响加强，灵敏度占比分别为17.56%、4.75%和13.17%。
4.4.2 变形失效结果分析
表14～表16 给出了结构在变形失效形式下3 种跨度模型的失效概率和可靠指标，表17～表19和图14～图16给出了各随机变量对结构变形的灵敏度和相关系数以及灵敏度分布图。
图14 40 m 变形的灵敏度分布图Fig. 14 Deformation sensitivity distribution map of 40 m span
图15 60 m 变形的灵敏度分布图Fig. 15 Deformation sensitivity distribution map of 60 m span
图16 100 m 变形的灵敏度分布图Fig. 16 Deformation sensitivity distribution map of 100 m span
表14 40 m 跨度变形失效分析结果Table 14 Deformation failure analysis results of 40 m span
表15 60 m 跨度变形失效分析结果Table 15 Deformation failure analysis results of 60 m span
表16 100 m 跨度变形失效分析结果Table 16 Deformation failure analysis results of 100 m span
表17 40 m 随机变量与变形之间的灵敏度和相关系数Table 17 Sensitivity and correlation coefficient between random variable and displacement of 40 m span
表18 60 m 随机变量与变形之间的灵敏度和相关系数Table 18 Sensitivity and correlation coefficient between random variable and displacement of 60 m span
表19 100 m 随机变量与变形之间的灵敏度和相关系数Table 19 Sensitivity and correlation coefficient between random variable and displacement of 100 m span
基于变形失效形式在ANSYS 中求解得到结构位移的响应面方程。根据响应面方程通过MATLAB迭代可计算出置信水平为0.95，变形大于[Δ]的可靠度：变量均值点作为迭代计算的初始点，应用MATLAB 求解可靠度，迭代计算得到40 m 和60 m跨度下结构变形失效的可靠指标分别为β=2.2197和β=3.0588，由ANSYS 采用蒙特卡罗抽样法计算出的结构变形失效的可靠指标分别为β=2.2952 和β=3.0611，结果表明结构在跨度小于60 m 时的变形失效的可靠度可以满足，100 m跨度网壳下两种算法得到结构变形失效的可靠指标分别为β=36.1035 和β=36.0482，结果表明结构在变形失效形式下的可靠度可以得到满足。
结构变形灵敏度分析结果显示在40 m、60 m跨度网壳下拉索强度对结构变形的灵敏度占比最大，分别为38.68%和43.95%，其次是弦杆内、外径；
40 m 跨度网壳中拉索预应力会在一定程度上影响结构的变形，其灵敏度占比为14.66%，在60 m 跨度网壳中拉索预应力对结构的灵敏度不明显。在100 m 跨度下6 个随机变量都会对结构变形产生影响，占比最大为弦杆内、外径，灵敏度占比分别为24.62%和31.88%。其次是拉索强度、弹性模量和拉索预应力，灵敏度占比分别为19.37%、14.28%和9.86%。
本文根据双向网格单层柱面网壳的受力特性提出了将张弦结构布置在柱面网壳面外的一种新型布索方案。分析了该方案对柱面网壳承载力提高的有效性，并对其静力稳定性能进行了研究。其次以40 m、60 m、100 m 跨度网壳为研究对象进行了可靠度分析。
(1) 通过对4 种模型的对比分析，论证了张弦结构体系显著增强了结构的刚度，提高了结构的稳定承载能力。
(2) 当网壳跨度小于60 m 时，结构跨度越大，承载力提高比例越明显，最大可提高744%。当跨度在100 m～120 m 时，结构承载能力最大可提高335%，变形相对减小了90%，可见拉索的布置有效限制了结构的变形。
(3) 在考虑初始缺陷的情况下，结构的极限承载力变化较明显，说明此类型结构属于缺陷敏感类结构。张弦高度与结构的承载能力呈线性正相关，但是过大的张弦高度使得结构用钢量增加，因此实际工程中要考虑经济、合理的耗材。
(4) 40 m 和60 m 跨度网壳在承载力失效和变形失效两种失效形式下的失效概率极小，承载力和变形的可靠度可以得到保证。100 m 跨度网壳在承载力失效形式下的失效概率较大，承载力可靠度相对较低。
(5)灵敏度结果表明，针对40 m 和60 m 跨度网壳，拉索强度是影响结构稳定承载力主要因素，灵敏度占比分别为99.41%和99.97%，当模型跨度达到100 m 时，拉索强度灵敏度占比为64.34%，拉索的效果相对减弱。
(6)拉索强度和弦杆内、外径是影响结构变形的主要因素，100 m 跨度下弹性模量和拉索预应力也对结构变形产生一定影响。
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