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姜世杰， 胡 科， 陈丕峰， 战 明
(1. 东北大学 机械工程与自动化学院， 辽宁 沈阳 110819；
2. 东北大学 信息科学与工程学院， 辽宁 沈阳 110819)
增材制造从起初的原型制造逐渐发展为直接制造、批量制造，具有广泛而重要的应用前景[1-3].熔丝成型(fused filament fabrication，FFF)是以三维物理模型数据为基础，将熔融材料丝按预先设计好的路径或轨迹移动并挤出，与前一层材料黏结并快速凝固，逐层累加最终堆积成各种复杂的三维几何体[4].因其制造简单、绿色环保、成本低廉等特点，FFF已成为使用最广泛的增材制造技术之一.在成型过程中，由于受到重力及喷头对材料丝的挤压影响，材料丝截面为椭圆，相邻椭圆截面之间会形成结合颈，其长度对FFF产品的表面质量起至关重要的作用.
由于逐层制造使FFF产品在表面质量与传统加工方式制造的产品有很大差距，为了有效提高FFF产品的表面质量，需明确其表面粗糙度的产生机理.Abbott等[5]的研究表明FFF产品的表面质量与挤出材料丝之间的结合颈长度有关，结合颈长度越大，表面质量越好.Wang等[6]基于耐热树脂材料结合形成的热分析理论，建立了制品表面粗糙度的机理模型，其理论与实验结果吻合度较好.Mohammad等[7]采用半经验方法模拟了表面轮廓特征及粗糙度，文献数据对比分析验证了预测粗糙度结果的正确性.Pandey等[8]假设FFF产品表面轮廓为抛物线形状，推导了FFF产品表面粗糙度的半经验公式，以及打印层厚度对打印方向的影响.Vahabli等[9]在实验研究的基础上，结合常用分析模型的最佳性能结果，提出了一种新的表面粗糙度预测模型.通过与其他模型[10-11]进行对比发现，该模型能精确预测出表面粗糙度数值.Lalehpour等[12]通过最大限度减小表面轮廓的高度使轮廓中线的定义更精确.在此基础上，提出FFF制品表面轮廓为正方形的假设，并建立了表面粗糙度解析模型.Kahi等[13]基于FFF制品表面轮廓几何形状的实际情况，提出了一种新的表面粗糙度经验公式.上述文献虽然针对FFF制品提出了不同类型的表面粗糙度解析模型或经验公式，但都只考虑了垂直纤维方向(单一方向)的表面粗糙度，忽略了各向异性特征.上述模型只分析了FFF制品二维平面的表面粗糙度，忽略了三维结构的实际情况，存在明显的局限性.
根据FFF产品表面轮廓的实际特点，基于结合颈成型过程建立了三维表面粗糙度理论模型.利用激光显微镜完成了相关实验研究，即确定样件的表面粗糙度，完成扫描电镜实验.理论与实验结果对比验证了模型的正确性.
在成型过程中，由于挤出材料丝受到重力及喷头挤压的影响，其截面形状为椭圆，相邻材料丝之间会形成结合颈，如图1所示.在形成结合颈的过程中，表面张力做功等于黏性力做功，忽略结合后挤出材料丝长度的变化.本文所用材料为聚乳酸(PLA)，其物性参数及模型所涉及的单位如表1所示.
图1 结合颈示意图Fig.1 Bonding neck diagram
表1 材料的物性参数及相关单位Table 1 Material property parameters and related units
1.1 基于横向结合颈解析研究
1.1.1 垂直于纤维方向的表面粗糙度(SRVF-TB)模型
横向结合颈示意图如图2所示.设结合时熔体流动发生在以接触点处r0(椭圆的曲率半径)为半径的圆内，并在任意t时刻其瞬时半径、横向结合颈长度及瞬时角分别为r1，2x及2θ，关系如下：
图2 FFF过程横向结合颈形成示意图Fig.2 Schematic diagram of transverse bonding neck formation in FFF process
x=r1·sinθ.
(1)
根据体积守恒原则，相邻材料丝结合过程中任意时刻t的瞬时半径r1的表达式为
(2)
任意时刻t的净接触横截面积为
(3)
相邻材料丝结合时表面张力作功为
(4)
式中，Γ为表面张力系数.将式(3)代入式(4)可得
(5)
假设相邻挤出材料丝结合时的流体为牛顿流体，牛顿流体的黏性力做功为
(6)
(7)
式中：vy(O)为材料在接触面上的流动速度，其值为零；
vy(A)为材料丝结合区域中心点移动到接触点的速度：
(8)
(9)
将式(9)代入式(6)即可得到黏性力作功Wv的表达式：
(10)
令Ws=Wv，即可得到横向结合颈瞬时半角的变化率：
(11)
将式(2)代入式(1)可得到横向结合半颈的表达式：
(12)
利用初始条件θ(0)=θ0=0对式(11)进行求解得到某一时刻的横向结合颈瞬时半角，将求得的瞬时半角代入式(12)得到某一时刻的横向结合颈长度.
在相邻材料丝结合过程中，当挤出材料丝从熔融温度下降到临界温度时，结合颈便停止生长，因此需要分析挤出材料丝的冷却时间.
根据文献[14]，挤出材料丝的冷却模型表达式为
T=T∞+(T0-T∞)·e-mx.
(13)
根据相邻挤出材料丝之间横向结合颈形成的实际情况，确定基于横向结合颈的垂直于纤维方向的表面粗糙度(the surface roughness vertical to the fiber direction based on transverse bonding neck, SRVF-TB)模型图，如图3所示.
图3 SRVF-TB模型图Fig.3 SRVF-TB model schematic
以第n层挤出材料丝截面及中心点建立坐标系(xoy)，截面轮廓可表示为
(14)
挤出宽度E和层厚K分别为
E=2a，K=2b.
(15)
将式(12)代入式(14)得到P1，P2的坐标值.重叠区域宽度c为
(16)
边界线由两条平行于表面法向量的lb1和lb2确定，可表示为
ylb1=y1,
(17)
ylb2=y2.
(18)
假设两条直线lp，lv之间存在一条临时中心线lt，且三条直线相互平行，设lt与lb1的交点为Pt1(xt1,yt1)，其中xt1的表达式为
xt1=xt1_old+d(Ap>Av) .
(19)
式中，d是迭代增量.
lt可表示为
x=xt1.
(20)
将式(14)，式(17)及式(18)分别与式(20)联立，可得交点Pt1，Pt2，Pt3及Pt4的坐标值.
封闭区域面积Ap和Av是由直线lt、峰廓线、谷廓线及各自的边界线组成，当4个交点的坐标值确定后，Ap和Av可表示为
(21)
(22)
(23)
Av=Av1+Av2.
(24)
式中：f(x)和f(y)是椭圆曲线关于x，y的展开式；
lb1(x)和lb2(x)是边界线关于x，y的展开式；
lt(x)和lt(y)是临时中心线关于x，y的展开式.
lt为轮廓算数平均中线时，即Ap=Av，联立式(21)～式(24)，即可求得直线lt的表达式.
FFF设备的成型精度对其制品的表面粗糙度有一定影响，垂直于纤维方向的表面轮廓高度h为
h=qs.
(25)
式中：s为±0.1 mm；
q为影响系数.
根据粗糙度的定义，SRVF-TB可表示为
(26)
1.1.2 平行于纤维方向的表面粗糙度(SRPF-TB)模型
SRPF-TB模型如图4所示.假定FFF制品平行于纤维方向的表面轮廓是一条起伏波动的曲线，其最大高度r取决于垂直于纤维方向的表面轮廓的高度h：
图4 SRPF-TB模型图Fig.4 SRPF-TB model schematic
r=h.
(27)
假设平行于纤维方向的表面轮廓宽度为u，基于SRVF-TB，可确定基于横向结合颈平行于纤维方向的表面粗糙度(surface roughness parallel to the fiber direction based on transverse bonding neck, SRPF-TB)Ra,P-TB为
(28)
式中：l=u；
|f(x)|=X1+X2+X3.
Ra,P-TB表达式为
(29)
1.2 基于纵向结合颈解析研究
1.2.1 垂直于纤维方向的表面粗糙度(SRVF-LB)模型
图5为纵向结合颈示意图，其形成原理与横向结合颈相似.在任意时刻t的瞬时半径r2、纵向结合颈长度2y及瞬时角2β之间的关系为
图5 FFF过程纵向结合颈形成示意图Fig.5 Schematic diagram of longitudinal bonding neck formation in FFF process
y=r2·sinβ.
(30)
根据体积守恒原则，相邻材料丝结合过程中任意时刻t的瞬时半径r2的表达式为
(31)
表面张力做功等于黏性力做功，即可得到纵向结合颈瞬时半角变化率：
(32)
将式(31)代入式(30)可得纵向结合半颈的表达式：
(33)
利用初始条件β0=β(0)=0对式(32)进行求解得到某一时刻的纵向结合颈瞬时半角，然后将其代入式(33)中得到某一时刻的纵向结合颈长度.
根据相邻挤出材料丝之间纵向结合颈形成的实际情况，确定基于纵向结合颈垂直于纤维方向的表面粗糙度(surface roughness vertical to the fiber direction based on longitudinal bonding neck, SRVF-LB)模型如图6所示.
图6 SRVF-LB模型图Fig.6 SRVF-LB model schematic
SRVF-LB的表达式为
(34)
1.2.2 平行于纤维方向表面粗糙度(SRPF-LB)模型
假设平行于纤维方向的表面轮廓宽度为v，根据1.1.2所述的相似原理，可确定基于纵向结合颈平行于纤维方向的表面粗糙度(the surface roughness parallel to the fiber direction based on longitudinal bonding neck,SRPF-LB)的表达式为
(35)
2.1 样件制备
利用FFF设备(D-Force V2)制备尺寸为20 mm×20 mm×20 mm的试验样件，如图7所示.样件材料为聚乳酸(polylactic acid,PLA)，具有热稳定性好、强度高、机械性能良好等特点.表2为样件的具体过程参数设置.
表2 样件的具体过程参数Table 2 Detailed processing parameters of the sample
图7 试验样件Fig.7 Test sample
2.2 表面粗糙度试验
使用3D测量激光显微镜(型号：LEXT OLS4100)对样件进行了SRVF-TB/LB及SRPF-TB/LB的试验研究，如图8所示.粗糙度测试过程中，分别使用5，10及20倍镜头对样件进行焦距调节.在随机选取的5个不同的区域中对样件表面进行精确观察，从而获取样件的表面轮廓，确定样件的三维表面粗糙度.
图8 表面粗糙度试验设备及样件Fig.8 Surface roughness testing equipment and samples
考虑到逐层累加的成型方式以及各向异性特点，每个样件包含两个粗糙度不同的表面，且每个表面具有横、纵两个方向的粗糙度.针对每个样件分别进行了20组表面粗糙度试验，其中每个表面在垂直和平行于纤维方向各进行了10组试验，5个样件总计进行了200组试验.为保证试验结果的准确性和可靠性，以每个方向10组数据的平均值作为样件该方向的表面粗糙度的分析结果.
3.1 表面形貌情况
垂直和平行于纤维方向的实际表面形貌如图9所示.基于实际表面情况，可以得到相应的表面粗糙度和表面轮廓的试验结果.
图9 表面形貌情况Fig.9 Surface appearance(a)—平行于纤维方向；
(b)—垂直于纤维方向.
3.2 基于横向结合颈的结果
3.2.1 垂直于纤维方向的表面情况
基于横向结合颈，对比分析了样件Ri(i=1～5)垂直于纤维方向表面轮廓的理论与平均测试结果，发现二者吻合度较好，如图10所示.SRVF-TB理论模型可准确预测FFF样件基于横向结合颈垂直于纤维方向的表面轮廓.
图10 长度对表面轮廓的影响Fig.10 Influence of length on surface profile
表3对比了样件(Ri，i=1～5)SRVF-TB的理论与试验结果.表面粗糙度平均值分别为23.21，25.35，25.17，23.76，25.63 μm，理论模型预测结果为24.40 μm，误差范围仅为2.6%～5.1%.可见，理论计算与试验测试结果误差较小，验证了模型的正确性.本文提出的SRVF-TB模型能够准确进行FFF样件基于横向结合颈垂直于纤维方向的表面粗糙度预测分析.
表3 SRVF-TB的具体结果Table 3 Detailed SRVF-TB results
3.2.2 平行于纤维方向的表面情况
基于横向结合颈，样件Ri(i=1～5)平行于纤维方向的表面轮廓的计算与平均测试结果如图11所示.可见，二者较为吻合，即SRPF-TB理论模型可以准确预测FFF样件基于横向结合颈平行于纤维方向的表面轮廓.
图11 长度对表面轮廓的影响Fig.11 Influence of length on surface profile
表4对比了样件Ri(i=1～5)的SRPF-TB模型与试验结果，可知，二者误差范围较小(2.9%～7.2%).因此，SRPF-TB模型可以实现FFF样件基于横向结合颈平行于纤维方向的表面粗糙度的准确预测.
表4 SRPF-TB的具体结果Table 4 Detailed SRPF-TB results
3.3 基于纵向结合颈的结果
3.3.1 垂直于纤维方向表面情况
样件Ri(i=1～5)基于纵向结合颈垂直于纤维方向的表面轮廓的计算与平均测试结果如图12所示.对比分析发现，二者在数值和趋势上吻合度都较好，因此SRVF-LB理论模型可以准确预测FFF样件基于纵向结合颈垂直于纤维方向的表面轮廓.
图12 长度对表面轮廓的影响Fig.12 Influence of length on surface profile
对比分析了基于纵向结合颈的FFF样件Ri(i=1～5)垂直于纤维方向的表面粗糙度(SRVF-LB)的理论与平均试验结果，如表5所示.误差范围为1.9%～5.5%，可见SRVF-LB模型能够准确预测SRVF-LB结果.
表5 SRVF-LB的结果Table 5 SRVF-LB results
3.3.2 平行于纤维方向表面情况
样件Ri(i=1～5)基于纵向结合颈平行于纤维方向的表面轮廓的计算与平均测试结果较为吻合，如图13所示.SRPF-LB模型可准确预测FFF样件基于纵向结合颈平行于纤维方向的表面轮廓.
图13 长度对表面轮廓的影响Fig.13 Influence of length on surface profile
表6对比分析了样件Ri(i=1～5)的SRPF-LB的理论与试验结果，SRPF-LB模型可实现FFF样件基于纵向结合颈平行于纤维方向的表面粗糙度预测，且预测结果准确.
表6 SRPF-LB的结果Table 6 SRPF-LB results
1) 基于横向结合颈成型过程，建立了FFF样件的SRVF-TB模型，并在此基础上，建立了FFF样件的SRPF-TB模型，通过试验分别验证了两个模型的正确性.
2) 基于纵向结合颈成型过程建立了FFF样件的SRVF-LB模型，并在SRPF-LB模型的基础上，建立了FFF样件的SRPF-LB模型；
对比试验与模型预测结果验证了两个模型的正确性.
3) 基于横、纵两向结合颈垂直/平行于纤维方向的表面轮廓的计算与平均测试结果的吻合度较好，进一步说明了理论模型的正确性.
4) 随FFF技术在消费电子、医疗器械和艺术设计等领域的应用越来越广泛，本文提出的4种理论模型有利于提高FFF制品的表面质量，进而扩大该技术的应用范围.
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