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摘 要 本文首先介绍了二维组合矩阵类的定义，然后给出了三维组合矩阵类的定义，并给出简单的举例。
关键词二维组合矩阵类 三维组合矩阵类
一、 引 言
2006年R.A.Brualdi 出版了《Combinatorial Matrix Class》，第一次提出了组合矩阵类的概念；给出了此类矩阵存在的充分必要条件；分析了结构特点，如矩阵的秩，迹，所对应的行列式，积和式的值；论证了一些组合参数及线性代数参数在矩阵类上的意义。同时还定义了实对称矩阵类及Tournament 矩阵类，并对存在条件，基本结构，及特殊的矩阵作了详细的论述。本文在此基础是提出了三维组合矩阵的概念。
二、 二维组合矩阵类
设为阶矩阵，记
分别为矩阵的行和与列和。并记
分别为矩阵的行和向量与列和向量。
易知向量与满足等式方程：
（2-1）
记为矩阵的所有元素之和。若、为非负向量，满足（2-1）式，和为且不为0，则阶矩阵，其中，
是具有行和为，列和为的矩阵。
我们也可以按下列方式构造一个具有行和为，列和为的非负矩阵。如果，则是唯一的满足条件的矩阵；如果，则是唯一的满足条件的矩阵。现在假设。我们选取，不妨假设。令，并定义
，则，由归纳假设，则一定存在一个阶矩阵具有行和为，列和为，这样矩阵
是一个非负的具有行和为，列和为的矩阵。由这种方式得到的矩阵最多有个正元素。
我们记
为行和向量为，列和向量为的所有非负矩阵集合。
定理2.1.1 设为非负向量，则非空的充要条件为等式（2-1）成立。
如果我们对于矩阵附加其他一些要求，则等式1.1就不再是矩阵存在的充分条件。例如，不存在行和向量为，列和向量为，且元素只能为0或1的阶矩阵。
定义 2.1.1 设向量，若阶（0，1）矩阵满足行和向量为，列和向量为，则的全体所构成的集合称（0，1）矩阵类，记为
三、三维组合矩阵类的定义
定义3.1.1 设是正整数，
是非负整数矩阵，是具有满足下列条件的三维阶（0，1）矩阵的集合
即 是具有行和矩阵，列和矩阵，纵和矩阵的三维阶
（0，1）矩阵的集合，则称为三维（0，1）矩阵类。
例如：
则三维矩阵定义为
属于。
事实上，的轴方向矩阵为
的轴方向矩阵为
满足条件（1）（2）（3）
参考文献：
[1]Richard A.Brualdi，Combinatorial Matrix Class [M]，Cambridge Uni Press，2006
[2]H.J.Ryser，Combinatorial Mathematic [M]，The Mathematical association of America， 1963
[3]徐利治，计算组合数学[M]，上海科技技术出版社，1983
[4]柳柏濂，组合矩阵论[M]，科学出版社，2005
本文来源：http://www.zhangdahai.com/shiyongfanwen/qitafanwen/2023/0330/577449.html
