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谢柯强，李阁强，2，彭建军，李东林
（1.河南科技大学机电工程学院，河南 洛阳 471003；
2.河南科技大学机械装备先进制造河南省协同创新中心，河南 洛阳 471003）
齿轮泵作为一种结构简单，环境适应性强的液压泵，在各领域得到广泛应用。在设计高速齿轮泵的过程中，有必要对泵进行动力学分析，而模态分析是一切复杂动力学分析的基础，因此必须综合考虑外界因素的影响，才能准确进行动力学分析，进而获得转子真实工况下的模态分布。
近年来，随着计算机技术与有限元理论的发展，模态分析技术也取得了较快发展，国内外学者运用模态分析方法来研究流体机械。文献［1］对热水循环泵进行模态分析，验证了材料性质与泵机械结构是影响各阶固有频率的主要因素。文献［2］对风机叶轮振动模态的计算方法进行研究，分析了影响固有频率的因素。文献［3］使用ANSYS有限元软件对混流泵的转动部件在不受预应力与受离心力、流固耦合力等预应力的情况进行模态分析并做了对比。文献［4］在分析了叶片泵的模态之后，还对其进行了优化设计。文献［5］对离心泵进行了模态分析，研究了转子与外壳的固有频率与振型。文献［6］考虑到流体附加质量与作用力的影响，用Workbench计算了转子在预应力作用下的湿模态结果，并研究流体及预应力对模态的影响。虽然众多学者对不同类型流体机械进行了模态分析的研究，并取得了相应的成果，但基本集中在单个转子的模态分析，而像双圆弧斜齿齿轮泵这种考虑两个转子啮合后模态分析却鲜有涉及。
以双圆弧斜齿齿轮泵转子系统为研究对象，使用Solidworks对双圆弧斜齿齿轮泵转动副进行三维实体建模，并导入ANSYS Workbench中进行无预应力与有预应力的模态分析，得到固有频率，临界转速与振型，其结果为转动副的动态设计提供参考，对提升转动副的动态特性具有重要意义。
双圆弧斜齿齿轮泵的转子采用双圆弧齿轮作为一对运动副，与传统的渐开线齿轮相比，双圆弧齿轮传动具有接触强度高，弯曲强度高，使用寿命长等优点。双圆弧斜齿轮啮合为一点连续接触，而不是线接触，端面重合度小于1，轴向重合度大于1，所以作为齿轮泵时不会像渐开线齿轮泵那样产生困油现象。一对双圆弧斜齿轮在啮合过程中，齿顶与齿根也参与啮合，连续的齿面接触降低了工作噪声，无困油现象也可以降低噪声，同时理论上这种泵流量连续性好，脉动小，进一步降低了噪声，可以称为“超静音”齿轮泵［7］。双圆弧斜齿齿轮泵组成与结构，如图1所示。
图1 双圆弧斜齿齿轮泵三维模型爆炸图Fig.1 Exploded View of 3D Model of Double Circular Arc Helical Gear Pump
模态分析是研究结构动力学特性的一种线性分析，亦是研究其他动力学分析（如谱分析，瞬态动力学分析以及谐响应分析等）的基础［8］。模态是机械结构的固有振动特性，每一个模态都有固定的振动频率与振型。在进行转子系统的模态分析时要考虑其所受的预应力，因为结构所受的预应力会对固有频率产生影响［9］。
3.1 模态分析基本理论
由经典力学理论可知，有限元求解结构动力学问题的通用方程为：
在无阻尼模态分析中，结构做无外载荷的自由振动，式（1）可被简化为：
由于弹性体的自由振动本质上为简谐振动的叠加，因此可用正弦函数表示位移后可得：
3.2 有限元模型建立与网格划分
以两平行轴与一对双圆弧斜齿齿轮副啮合所形成的转动副为研究对象，双圆弧斜齿齿轮模型参数［10］，如表1所示。
表1 齿轮泵主要设计参数Tab.1 Main Design Parameters of Gear Pump
采用solidworks按照实体比例画出转动副模型，为提高网格质量，忽略圆角特征，并导入ANSYS Workbench 中，设置材料为40Cr，弹性模量为（2.11×1011）N/m2，泊松比为0.277，质量密度7870kg/m3，忽略其他次要因素的影响，网格划分方法为自动网格。
为确保网格数量以及尺度不会对数值计算结果产生影响，进行网格无关性验证。取不同网格单元大小下的固有频率值，并进行比较结果，如表2所示。这里取前6阶模态值作为参考。可以看出，随着网格单元减小，固有频率不再有明显波动。综合计算耗时与计算精度，取网格单元大小为2mm进行后续计算。此时共有84342节点和47718个单元。
表2 不同网格单元大小下前六阶固有频率Tab.2 First Six Order Natural Frequencies at Different Grid Cell Sizes
图2 转动副有限元网格模型Fig.2 Finite Element Mesh Model of Rotating Joint
3.3 约束与载荷设置
转子系统的固有频率与模态振型会因为边界条件的不同而不同，边界的条件包含约束与载荷，两者通过节点与单元进行传递［11］。
根据转动副的工作情况添加以下约束边界条件：在转轴与滑动轴承接触处施加圆柱支撑（Cylindrical Support）约束其径向位移，轴向、切向自由，约束如图3中蓝色部分所示。
然后根据转动副所受的载荷来添加预应力，作用在转动副的载荷主要包括表面压力与惯性力［12］。表面压力载荷指液压油作用在齿轮表面的流场压力；
惯性力通过对重力加速度、旋转速度以及材料密度的定义来施加。重力加速度选择ANSYS Work-Bench 中默认的加速度9.8m2/s，主动轴与电机联轴器接触处施加扭矩，并限制x、y、z三个平移方向的自由度与绕x、y方向的转动自由度；
在双圆弧斜齿齿轮齿面处施加所受到的液压力，按进油口低压区0.1MPa，出油口高压区25MPa。齿轮轮齿与泵体内壁构成若干个封闭的腔室且腔室中压力为定值，各齿面所受压力由低压区到高压区为等差分布［13］，齿面所受载荷如图3中红色部分所示。
在混合机中进行水分调控目的是：①当混合粉料水分含量低于13.0%时将水分含量增加至正常水分含量，以便满足调质制粒工艺要求；
②将液体防霉剂用水稀释后添加到饲料中，既可将水分提高到正常制粒要求，又可起到防霉的作用；
③将防霉剂、乳化剂、水分活度调节剂与水按比例混合后加到饲料中，达到有利于饲料对水分吸收、高效制粒、保持低水分活度、防止饲料霉变和保持产品品质的要求。
在分析设置（Analysis Setting）的转子动力学控制（Rotordynamics Control）中，将陀螺效应（Corolis Effect）选项设置为on。以上约束与载荷的施加保证了仿真计算与转动副实际运行工况相符合，确保求解结果的真实性与准确性。转动副所受约束与载荷，如图3所示。
图3 转动副边界条件Fig.3 Boundary Condition of Rotation
3.4 仿真结果分析
转动副系统的振动可以看作各阶振型的线性叠加，而转动副系统的动态特性主要由低阶振型所决定。因此在分析转动副的振动特性时，通常提取低阶模态振型与固有频率进行分析。
转动副在仅受约束，不受载荷，即无预应力下的前8阶模态振型，如图4（Ⅰ）所示。转动副在受约束与载荷，即有预应力状态下的前8阶模态振型云图，如图4（Ⅱ）所示。
图4 转动副无预应力与有预应力前8阶模态的振型云图Fig.4 The Vibration Cloud Diagram of the Unprestressing and Pre-Prestressing 8 th Order Modes of the Rotating Pair
从图4可以看出，添加预应力之后，各阶的扭转与拉伸趋势没有发生变化，只是振幅发生了改变。一阶振型为主动轴与从动轴沿Z轴轴向扭转，最大变形发生在齿轮齿顶处；
二阶振型从动轴沿主动轴轴向平移，最大变形发生在从动轴处；
三阶振型时从动轴沿自身转轴轴向扭转，主动轴沿轴向伸缩振动，最大变形发生在主动轴短轴端；
四阶振型时从动轴沿自身转轴轴向扭转，主动轴沿轴向伸缩振动。
最大变形发生在主动轴长轴端；
五阶振型时主动轴长轴端与电机连接处上下振动，最大变形发生在主动轴长轴端与电机连接处中部；
六阶振型时主动轴长轴端与电机连接处左右振动，最大变形发生在主动轴长轴端与电机连接处中部；
七阶振型时主动轴沿轴向伸缩运动，最大变形发生在主动轴直径变化处与短端末尾处；
八阶振型为主动轴与从动轴齿轮的上下摆动，最大变形发生在齿轮齿顶处。转动副的频率与转速的关系可以表示为：λ=60f，λ为转速（r/min），f为频率（Hz），有无预应力下前8 阶模态固有频率，转速与振幅的对比，如表3 所示。fa、fp分别为转动副无预应力、有预应力对应的频率；
na、np分别转动副为无预应力、有预应力对应的转速；
Aa、Ap为转动副无预应力、有预应力对应的振幅。
表3 有无预应力情况下固有频率，转速与振幅Tab.3 The Natural Frequency，Speed and Amplitude with PRestress and Without Prestress
从表3可以看出：随着阶次的增加，转动副的固有频率逐渐增大。添加预应力之后，各阶固有频率的分布、变化规律与无预应力的情况基本一致，二阶、三阶、八阶的固有频率相较无预应力的固有频率降低，一阶、四阶、五阶、七阶的固有频率相比无预应力的固有频率有所提升，六阶频率没有变化。一阶，二阶，五阶的固有频率变化较大，其余各阶变化较小，在0.1%之内。在施加预应力之后，一阶、三阶、五阶、七阶的振幅减小；
二阶、四阶、六阶、八阶的振幅增大。
3.5 转子结构优化
高速泵一般用于航空航天，要求极限重量。出于减材，轻量化，高功重比的考虑，以轻量化为优化目标，对双圆弧斜齿齿轮泵转子进行结构优化，优化后的转子系统应满足等效应力应小于材料的屈服极限785MPa，最大变形小于1mm，一阶固有频率大于最高转速所对应的固有频率。
依次将转轴的直径改为原设计的0.9倍、0.8倍、0.7倍与0.6倍，施加与之前有预应力模态分析时相同的约束与载荷，进行静力学与模态分析。当转轴直径为原设计的0.9倍与0.8倍时，仍有较大裕量；
为0.7倍时，略大于临界值；
为0.6倍时将产生共振。且取0.7倍轴径时，等效应力为225.82MPa，最大变形0.9188mm，满足设计要求。因此取原轴径的0.7倍，前8阶模态的振型云图，如图5所示。
图5 优化后转动副有预应力的前8阶模态振型云图Fig.5 Vibration Cloud Diagram of the First Eight Modes with Prestress of the Rotating Pair After Optimization
由振型云图可以看出，优化后振型与优化前一致。由表4可知，由于减小轴径，转子系统刚度降低，所以前8阶固有频率均减小。1阶固有频率变化较大，仅为优化前的48%，后7阶固有频率减小幅度相对较小。优化后转子系统固有频率对应的转速高于额定转速，不会发生共振。
表4 转轴优化后固有频率与振幅Tab.4 Natural Frequency after Shaft Optimization
临界转速分为横向临界转速和扭转临界转速。由于加工误差、装配误差、以及转轴自身质量分布不均匀，转轴旋转时质心偏离轴线产生离心力并随轴的旋转产生周期性变化，在某一转速下，转轴弯曲自振频率与离心力变化频率一致时，转轴振动显著增强，产生共振，对应的转速为横向临界转速。当转轴所传递功率发生周期性变化时，转轴会因该周期性力矩产生扭转振动，当扭转自振频率与力矩频率一致时，产生扭转共振现象，对应的转速为扭转共振转速。上述两种临界转速会对齿轮泵机械结构造成严重破坏，因此齿轮泵工作的额定转速要避开临界转速范围［14］
转轴激振频率由自身旋转产生的轴频与液压油激振引起的频率组成。齿轮泵额定转速10000r/min，轴频fr=10000/60=166.667Hz，齿轮转子齿数为7，在齿轮泵工作过程中，出油口会因齿轮啮合存在压力脉动，使转轴受到脉动的径向力。因此，双圆弧斜齿齿轮泵转子啮合产生周期性变化的径向力是转动副振动的来源之一。该径向力的主频ft=fr×7=1166.669Hz，主要引起转轴的弯曲振动。
依据转子动力学要求［15］：
（1）转子第一临界转速要比额定转速高20%，且额定转速必须偏离所有可预见的激振频率；
（2）第一临界扭振转速要偏离额定转速下的第一激振频率10%。对于弯曲振动，第一临界转速24846.6r/min远大于额定转速10000r/min，液压油激振频率1166.669Hz 处于二阶固有频率515.38Hz与三阶固有频率4459.1Hz之间，且均在共振频率值的10%范围以外；
对于扭转振动，激振频率为电机的转动频率166.667Hz，远离一阶固有频率414.11Hz。
泵体作为齿轮泵中体积最大的元件，参照对转动副进行模态分析的步骤，对泵体划分网格，施加预应力，求出前八阶固有频率，并与转动副有预应力的前八阶固有频率进行对比，如图6所示。泵体与转动副频率曲线在10000Hz处相交，此处对应转速为600000r/min，远高于额定转速10000r/min。因此泵体与转动副不会发生共振。
图6 泵体与转动副有预应力的前八阶固有频率Fig.6 The First Eighth Order Natural Frequencies of the Pump Body and the Rotating Pair Are Prestressed
（1）高压液体在泵内的流动使转动副受力，导致泵共振特性发生改变。添加预应力之后，转动副各阶模态的固有频率与振幅均发生相应变化，但变化幅度较小。说明预应力对转动副固有频率的影响很小。
（2）泵轴直径是影响齿轮泵模态特性的主要因素，泵轴直径减小，系统刚度变小，从而造成固有频率降低。设计时要在轻量化与模态特性之间进行折中。
（3）齿轮泵实现高速高压化需进行转子稳定性设计，设计时必须参照转子动力学标准对泵进行临界转速分析，使一阶临界转速远高于泵的额定转速。同时，设计时需使泵体与转动副的共振转速远高于泵的额定转速。
（4）双圆弧斜齿齿轮泵转子系统的振型云图，为后续实验过程中传感器的布置位置提供依据。
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