周期箭状矩阵的特征值反问题:三阶矩阵求特征值公式

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  摘 要:讨论了由谱数据构造周期箭状矩阵的特征值反问题,以及周期箭状矩阵的相关性质.得出了该问题有解的充要条件以及有唯一解的充要条件,并且根据Boley与Lanczos的算法给出了求解该问题的可行数值算法.
  �
  关键词:特征值反问题; Jacobi矩阵;箭状矩阵;周期箭状矩阵�
  中图分类号:O241.6 文献标识码:A
  
  
  An Inverse Eigenvalue Problem for Periodic Arrow�like Matrices
  
  ��
  DENG Yuan�bei��, XIE Wei�si�
  (College of Mathematics and Econometrics, Hunan Univ, Changsha, Hunan 410082,China)
  Abstract:A class of inverse eigenvalue problem for periodic arrow�like matrices constructed by spectral data and its properties were discussed. The necessary and sufficient conditions for the solvability and uniqueness of the problem were obtained, followed by a feasible numerical algorithm according to Boley and Lanczos" algorithm.
  
  �
  Key words:inverse eigenvalue problem; Jacobi matrix;arrow�like matrix; periodic arrow�like matrix
  ��
  
  周期箭状矩阵具有以下形式:�
  A�n=α�1β�n0Lβ�1�β�nα�20Lβ�2�00α�3OM�OO0β��n-2��MM0α��n-1�β��n-1��β�1β�2Lβ��n-2�β��n-1�α�n. (1)�
  
  式中:A�j表示A�n的j×j阶顺序主子阵,α�i互不相同,β�i>0, i=1,…,n-1,n.当β�n=0时,该矩阵为箭状矩阵,文献[1-2]阐述了�Jacobi�矩阵特征值反问题,文献[3-4]对周期�Jacobi�矩阵进行了研究,文献[5]研究了子周期�Jacobi�矩阵的特征值反问题.箭状矩阵在现代控制理论和星形弹簧质量系统的振动问题中有广泛应用,文献[6]讨论了其特征值反问题,文献[7]研究了其广义特征值反问题.本文研究了周期箭状矩阵的特征值反问题,实际上是对箭状矩阵特征值反问题的进一步推广.即下述问题:�
  问题1 给定正数c以及两组实数集�
  λ=λ�1,λ�2,…,λ�n,μ=μ�1,μ�2,…,μ��n-1�同时满足条件: �
  λ�1<μ�1<λ�2<…<λ��n-1�<μ��n-1�<λ�n.(2)�
  求一个周期箭状矩阵A�n,使得�
  σA�n=λ�1,λ�2,…,λ�n,�σA��n-1�=μ�1,μ�2,…,μ��n-1�,�β�1β�2β�n=c>0.
  1 A�n的性质�
  令φ�jλ=�det� λI�j-A�j,φ�0λ=1.�
  引理1 对于A�n的顺序主子阵的特征多项式φ�nλ与φ��n-1�λ有关系式: �
  �φ�n(λ)=(λ-α�n)φ��n-1�(λ)-∑2i=1β�2�i∏n-1 j=1(λ-α�j)-�
  ∑n-1i=3β�2�iφ��n-1�(λ)(λ-α�i)-2β�1β�2β�nφ��n-1�(λ)φ�2(λ).(3)�
  证 将λI-A�n按最后一行作�Laplace�展开即得.证毕.�
  湖南大学学报(自然科学版)2012年
  第4期邓远北等:周期箭状矩阵的特征值反问题
  令A��11�=α�1β�n�β�nα�2,根据A�n的特点,可知A��n-1�的特征值是由A��11�的特征值以及α�i,i=3,…,n-1构成,又由于α�i互不相同,不妨设�
  α�k=μ�k,k=3,…,n-1,(4)�
  
  则A��11�的特征值就为μ�1,μ�2.�
  定理1 设�λ�i��n��i=1�,�μ�j���n-1���j=1�分别为A�n,A��n-1�的特征值,则满足式(2)中的交错隔离关系.�
  证 由引理1及式(4)可得:�
  当k=3,…,n-1时,�
  |μ�kI-A�n|=φ�n(μ�k)=-β�2�k∏n-1j=1j≠k(μ�k-μ�j),�
  则 �sgn� (φ�nμ�k)=�-1���n-k� .(5)�
  又�sgn� (φ�n+
  �SymboleB@)=1,由柯西交错定理有�
  μ�3<λ�4<μ�4<…<λ��n-1�<μ��n-1�<λ�n. (6)�
  当k=1,2时, �
  φ�n(μ�k)=-∑2i=1β�2�i∏2j=1j≠i(μ�k-α�j)∏n-1s=3(μ�k-μ�s)-�
   2β�1β�2β�n∏�n-1��j=3�μ�k-μ�j, (7)�
  
  则�sgn� φ�nμ�2=�-1���n-2�.�
  下面考虑 �sgn� φ�nμ�1.�
  由于β�n>0,A��11�为�Jacobi�矩阵,则μ�1<α�1<μ�2且μ�1+μ�2=α�1+α�2,所以�
  μ�1-α�1<0,μ�1-α�2<0.�
  φ�nμ�1=-β�2�1μ�1-α�2+β�2�2μ�1-α�1+�2β�1β�2β�n×∏�n-1��j=3�μ�1-μ�j.�
  
  由于 β�2�1α�2-μ�1+β�2�2α�1-μ�1≥�
  2β�2�1α�2-μ�1β�2�2α�1-μ�1=2β�1β�2β�n,�
  
  所以 �sgn� φ�nμ�1=�-1���n-1�.�
   由式(5)知,�
  φ�nλ在-
  �SymboleB@,μ�1,μ�1,μ�2μ�2,μ�3均有一根,得证.�
  引理2��[8]� 令λ�1<μ�1<λ�2<…<λ��n-1�<μ��n-1�<λ�n,如果a�k=∑n�i=1�λ�i-∑�n-1��i=1�μ�i,则下列线性方程组:�
  c�1λ�i-μ�1+c�2λ�i-μ�2+…+c��n-1�λ�i-μ��n-1�=λ�i-a�k,�
  其中i=1,2,…,n-1,n,有唯一解x=�c�1,c�2,…,c��n-1����Τ�,且�
  c�j=-∏n�i=1�λ�i-μ�j�∏�n-1��i=1,i≠j�μ�i-μ�j���-1�>0�.�
  引理3��[1]� 设n阶�Jacobi�矩阵�
  J�n=a�1b�1�b�1����a��n-1�b��n-1��b��n-1�b�n的特征值分别为λ�1,…,λ�n,对应的标准正交特征向量为 x�1,…,x�n, 则对 m≤k,j=1,…,n 有�
  φ�′�nλ�jx��mj�x��kj�=φ��m-1�λ�jb�m…b��k-1�φ��m+1,n�λ�j,�
  x�2��mj�=θ��m-1�λ�jθ��m+1,n�λ�j/θ�′�nλ�j,(8)�
  
  其中x��mj�为x�j的第m个分量, θ�nλ为J�n特征多�项式.�
  
  2 问题的解A�n�
  定理2 给定两组实数�λ�i��n��i=1�和�μ�j���n-1���j=1�以及正数c,则问题�Ι�有解的充要条件是:�
  当i=1,2时,�
  ∏n�j=1�μ�i-λ�j≥4c�-1���2-i�∏�n-1��j=3�μ�i-μ�j; (9) �
  当i=3,…,n-1时,�
  -∏n�j=1�λ�j-μ�i�∏�n-1��j=1,j≠i�μ�j-μ�i���-1�>0. (10)�
  证 必要性,考虑A�n的特征矩阵�
  λI-A�n=λI��n-1�-A��n-1�y�y��Τ�λ-α�n, �
  
  其中y=�-β�1-β�2…-β��n-1����Τ�,则�
  
  I��n-1�0�-y��Τ��λI��n-1�-A��n-1����-1�1λI��n-1�-A��n-1�y�y��Τ�λ-α�n=λI��n-1�-A��n-1�y�0λ-α�n-y��Τ��λI��n-1�-A��n-1����-1�y�
  由文献[3-4],�
  (λI-A��n-1�)��-1�=∑n-1i=11λ-μ�ix�ix��T��i.�
  
  其中x�i为属于A��n-1�特征值μ�i的标准正交特征向量,当i=3,…,n-1时,�
  x�i=e�i. (11)�
  
  其中e�i为第i个元素为1的单位向量. 若x��ji�表示特征向量x�i的第j个分量.�
  
  则y��T�(λI��n-1�-A��n-1�)��-1�y=∑n-1i=1(x��T��iy)�2λ-μ�i=�
  ∑�n-1��i=1��β�1x��1i�+β�2x��2i�+…+β��n-1�x��n-1,i���2λ-μ�i,�
  �det� λI-A�n=∏�n-1��j=1�λ-μ�j×��λ-α�n-∑�n-1��i=1��β�1x��1i�+β�2x��2i�+…+β��n-1�x��n-1,i���2λ-μ�i�.�
  考虑方程 λ�j-α�n-∑�n-1��i=1�c�iλ�j-μ�i=0,�
  其c�i=�β�1x��1i�+β�2x��2i�+…+β��n-1�x��n-1,i���2.�
  由引理2 知该方程有唯一解,且�
  c�i=-∏n�j=1�λ�j-μ�i�∏�n-1��j=1,j≠i�μ�j-μ�i���-1�>0. 当i=3,…,n-1时,由式(11)有�
  c�i=β�2�i.即式(10)成立.�
  下证式(9)成立,由于x�i的正交性,当i=1,2时,x��mi�=0,m=3,…,n-1,此时,�
  c�i=�β�1x��1i�+β�2x��2i���2,(12)�
  根据引理3有�
   x��1i�x��2i�=β�nφ��3,n-1�μ�iφ�′��n-1�μ�i,(13)�
  
  式中,φ�′��n-1�μ�i=�-1���n-i-1�∏�n-1��j=1,j≠i�μ�i-μ�j,�
  当i=1,2时,φ�′��n-1�μ�i=φ��3,n-1�μ�iφ�′�2μ�i,将式(13)代入式(12)中,得�
  β�4�1[φ�′�2(μ�i)]�2x�4��1i�+�
  2cφ�′�2(μ�i)-c�iβ�2�1[φ�′�2(μ�i)]�2x�2��1i�+c�2=0�
  解得�
  x�2��1i�=|φ�′�2(μ�i)c�i|-2c(-1)��2-i�±�Δ��i2β�2�1|φ�′�2(μ�i)|,�
  
  其中�
  �Δ��i=�φ�′�2μ�ic�i��2-4c�-1���2-i�φ�′�2μ�ic�i=� φ�′�2μ�ic�iφ�′�2μ�ic�i-4c�-1���2-i�.�
  由于A��11�为�Jacobi�矩阵, x�2��1i�>0,i=1,2�
  
  所以,��Δ��i≥0�φ�′�2μ�ic�i-2c�-1���2-i�±Δ�i>0��, �
  解得�
  ∏n�j=1�μ�i-λ�j�4c�-1���2-i�∏�n-1��j=3�μ�i-μ�j.�
  充分性令Q��Τ�=Q��Τ��2�I��n-2�,其中Q�2∈R��2×2�为A��11�的标准正交特征向量组成的矩阵.则�
  Q���A�nQ=Q����2�I�����n-2�A�nQ�2�I��n-2�=�
  
  Q����2A��11�Q�2Q����2A��12��A��21�QA��22�=�
  ��Λ�0Q��Τ��2β�0�β��Τ�Q�2A��22��.�
  
  其中Λ=μ�10�0μ�2,Q��Τ��2=q�1,q�2,�
  A��12�=0…β�1�0…β�2=0…β�
  A��22�=�α�3β�3����α��n-1�β��n-1��β�3…β��n-1�α�n�.�
  令 Q��Τ��2β=�β�′�1,β�′�2���Τ�=β�′ (14)�
   λI-A�n=λ-α�n∏�n-1��i=1�λ-μ�i-�
  ∑�n-1��i=1��β�′�i��2∏�n-1��j=1,j≠i�λ-μ�j.�
  
  其中β�′�i=β�i,i=3,…,n-1.则�
  ��β�′�i��2=-∏n�j=1�μ�i-λ�j/∏�n-1��j=1,j≠i�μ�i-μ�j,�α�n=∑n�i=1�λ�i-∑�n-1��i=1�μ�i.�(15)�
  下面去构造β�1,β�2以及A��11�.令�
  A�-�n=α�1β�n-β�1�β�nα�2�β�2�������α��n-1�β��n-1��-β�1β�2…β��n-1�α�n,�
  β�-=�-β�1,β�2���Τ�,β�″=Q��Τ��2β�-=�β�″�1,β�″�2���Τ�,(16)�
  则�
  
   λI-A�-�n=λ-α�nφ��n-1�λ-∑2i=1β�2�i∏2j=1(λ-α�j)-�
  ∑n-1i=3β�2�iφ��n-1�(λ)(λ-α�i)+2β�1β�2β�nφ��n-1�(λ)φ�2(λ)=�
  λI-A�n+4β�1β�2β�nφ��n-1�(λ)φ�2(λ)=�
  λI-A�n+4β�1β�2β�n∏n-1(i=3(λ-α�i).�
  
  
  
   又由于�
  
  
  λI-A�-�n=λ-α�nφ��n-1�λ-�
  ∑�n-1��i=1��β�″�i��2∏�n-1��j=1,j≠i�λ-μ�j.�
  再根据式(9)知�
  
   �β�″�i��2=-∏n�j=1�μ�i-λ�j-4c�(-1)���2-i�∏�n-1��k=3�μ�i-μ�k∏�n-1��j=1,j≠i�μ�i-μ�j>0�.(17)�
  
  式中:β�″�i=β�i,i=3,…,n-1.由式(14)及式(16),有�
  β�1q�1+β�2q�2=β�′,�-β�1q�1+β�2q�2=β�″.�
  
  得2β�1q�1=β�′-β�″,�
  β�1=‖β�′-β�″‖2,q�1=�β�′-β�″2β�1�.(18) �
  由Q��Τ��2A��11�=ΛQ��Τ��2,由�Lanczos�构造法有�
  α�1q�1�1+β�nq�2=�Λ�q�1,�β�nq�1+α�2q�2=�Λ�q�2.�
  
  则α�1=q�1��T�Λq�1,β�n‖Λq�1-α�1q�1‖�
  q�2=Λq�1-α�1q�1β�n,α�2=q�2��T�Λq�2,
  β�2=cβ�1β�n.
  (19)�
  
  从而构造了矩阵A�n.�
  推论 问题�I�有唯一解的充要条件是:�
  ∏n�j=1�μ�i-λ�j=4c�-1���2-i�∏�n-1��j=3�μ�i-μ�j,�
  i=1,2.
  3 算 法�
  步骤1 由式(15)计算α�n;�
  步骤2 由式(15)计算β�i,i=3,…,n-1;�
  步骤3 由式(15)及式(17)计算β�′,β�″;�
  步骤4 由式(18)计算β�1,q�1;�
  步骤5 由q�1及μ�1,μ�2用�Lanczos�方法按式(19)构造A��11�;�
  步骤6 计算β�2=cβ�1β�n.
  
  4 数值实验�
  
  给定一组谱数据:�
  λ�1=1.50,λ�2=1.98,λ�3=3.96,λ�4=7.92,�
  μ�1=1.70,μ�2=2.41,μ�3=5.64,c=8.12,�
  构造一个四阶周期对称箭状矩阵.�
  通过�matlab�计算得到:�
  α�4=5.610 0,β�3=2.135 6,α�3=5.6400,�
  β�1=4.218 5,α�1=2.019 9,β�4=0.353 3,�
  β�2=5.448 2,α�2=2.090 1,即所求矩阵:�
  �2.01990.353304.2185�0.35332.090105.4482�005.64002.1356�4.21855.44822.13565.6100�.��参考文献�
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