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张彩亮，张玉芳，赵尚毅，张志国，袁 坤，周文皎
（1.中国铁道科学研究院 研究生部,北京 100081；
2.中国铁道科学研究院集团有限公司 铁道建筑研究所,北京 100081；
3.石家庄铁道大学 土木工程学院,河北 石家庄 050043）
滑坡、塌陷、采空区深部岩层局部大位移会引起隧道衬砌局部结构变形、开裂或错位，目前虽可通过直接测试很容易地得到其变形状况，但是局部区域受力分析还没有一种成熟的计算方法。对于穿越不同类型不良地质的隧道，国内外学者在隧道埋深、围岩环境、隧道与不良地质体空间位置关系及其影响所造成的病害特征和损伤模式方面开展了大量研究工作［1-9］，但相关研究多集中于滑坡、塌陷、采空区相关变形特征和受力机理方面，尚未提出可明确计算隧道变形后力学状态的方法。
目前，基于弹性地基梁模型进行隧道结构纵向力学行为分析已有不少相关研究。针对盾构隧道，文献［10］基于纵向等效连续化模型，弹性地基梁理论及隧道上覆土的地基弹簧参数，研究了盾构隧道管片脱离盾尾时的上浮问题；
文献［11］认识到目前隧道衬砌主要根据横向受力进行设计计算的不足，基于等效连续化模型和弹性地基梁理论，研究了盾构法施工隧道衬砌结构的纵向变形及受力行为；
文献［12］针对盾构隧道纵向不均匀沉降，基于弹性地基梁理论计算了软土盾构隧道纵向沉降曲线；
文献［13］考虑隧道下卧层与上覆土层的影响，基于双面弹性地基梁与温克尔弹性地基梁理论，研究了地面附加堆载引起深埋盾构隧道的纵向变形问题，并对比了2 种计算方法下隧道结构位移、内力的差异。针对既有隧道和沉管隧道，文献［14］基于弹性地基梁理论，研究了新建隧道下穿既有隧道的变形和内力问题；
文献［15］基于Mindlin 解和Pasternak 双参数地基模型，研究了既有隧道上覆基坑开挖和降水后隧道变形的解析计算问题；
文献［16］基于弹性地基梁计算沉管隧道纵向受力行为，分析了隧道接头，并得到了隧道纵向沉降曲线曲率对纵向弯矩及剪力的影响关系。这些研究普遍结合具体工程结构及地质环境特征，基于弹性地基梁模型和地基弹簧参数优选后，再进行隧道结构变形和内力的分析计算。
对于穿越不良地质带隧道，文献［17-18］基于温克尔弹性地基梁理论，考虑溶洞大小及其填充物与围岩压缩模量的差异，研究了隧道位移、反弯点及易产生裂缝的位置；
文献［19］基于温克尔弹性地基梁理论，考虑隧道与管线倾斜角度，推导出隧道开挖过程中既有管线的内力和位移理论计算式；
文献［20］基于弹性地基梁理论，研究了穿越活动断裂带不良地质段柔性连接隧道的纵向变形和内力分布；
文献［21］把隧道纵向变形分为弯曲和错台2类，将隧道简化为纵向连续均质铁木辛柯梁，分析运营盾构隧道错台引起的剪切变形。
综上所述，以上研究主要考虑了隧道围岩压缩模量变化、基础沉陷或变位对既有管线或隧道状态的影响，均属于已知荷载和埋藏条件求解内力和变形的问题，或是根据可能发生的纵向变形进行隧道结构行为分析的研究，并未见从既有实测变形曲线反演隧道力学状态的文献报道。
针对多座发生局部塌陷、滑坡、采空区大位移等病害的隧道，实测并总结分析其纵向变形曲线规律，可发现其与弹性地基梁受力变形存在相似性。由此，本文尝试基于弹性地基梁理论，以隧道实测变形为依据，提出一种隧道产生纵向变形后等效荷载计算的反演分析方法，并依托某穿过两煤矿采空区的病害隧道工程实例对方法的合理性进行验证，以期为病害隧道的受力分析和加固设计提供参考。
弹性地基梁-隧道变形曲线反演分析法是1 种简化计算方法，为便于分析做如下基本假定。
（1）将隧道简化为1 根埋置在岩土体中的弹性无限长直梁。当隧道处于弹性变形范围时，反演分析结果与隧道实际力学状态相符；
当隧道处于开裂后的弹塑性工作状态时，基于弹性理论的反演分析结果偏于保守，可根据反演计算的内力是否超过隧道衬砌混凝土弹性极限来判断其是否开裂。
（2）隧道结构及其周围的岩土体是均质、连续、弹性的。
（3）隧道与周围岩土体之间始终保持接触状态，二者的变形协调，并忽略摩擦力影响。
（4）弹性地基梁模型考虑的是梁-地基压缩相互作用关系，因此只计入隧道计算变形方向投影线内受挤压作用岩土体的影响，忽略隧道轴向变形的影响；
隧道的变形连续，且隧道变形后仍满足平截面假定。
（5）考虑到隧道结构沉降缝的分割作用，认为隧道可自由扭转变形，并忽略土体对隧道扭转的影响；
反演时选取相邻两沉降缝之间的隧道长度作为基本单元，分析隧道横截面上所承受的扭矩。
（6）忽略地下水、温度及地应力的影响。反演分析法将隧道沿轴线方向假设为一根弹性地基梁，先根据位移-荷载关系或转角-弯矩关系，利用实测的隧道变形曲线，反推出作用于隧道结构的等效集中荷载P取值；
再计算出隧道衬砌截面的平均弯矩M、扭矩T和剪力Q等内力的取值，并据此分析隧道衬砌结构受力状态。
上述等效集中荷载指的是弹性地基梁模型中最大下挠变形或弯曲转角取值与隧道轴向控制截面的实测变形相等时所对应的集中荷载，可按以下2 种准则进行反演。1 种是位移反演等效准则，即按隧道结构局部实测最大下挠值进行反演（简称第一等效准则）；
另1种是结合材料力学转角-弯矩关系的反演准则，即按最大下挠点、下挠与上拱分界点间连线与水平线的夹角（可近似取为其斜率）进行反演（简称第二等效准则）。隧道结构下挠变形中不仅有局部弯曲变形，还可能存在整体刚体位移。按照第二等效准则反演不会受整体刚体位移的影响，一般更符合实际结果。
2.1 反演分析温克尔弹性地基梁模型的选取
温克尔弹性地基梁模型有无限长梁、半无限长梁和短梁［22］3 种模型，具体与集中力P至梁两端的距离与特征长度L（取值可参考文献［22］）有关。其中，集中荷载P作用下的无限长梁，在集中荷载作用点处挠度最大，两侧对称表现为下挠段和上拱段，且在远离集中力作用点1.75πL处，变形逐渐趋向于零。集中荷载作用下的无限长梁荷载与位移关系见图1。根据大量隧道实测纵向变形曲线分析可知，当隧道结构产生局部变形时，其沿纵向变形普遍呈现下挠段和上拱段，这一特征与图1无限长梁变形曲线极其相似。为此，本文选取无限长弹性地基梁作为反演计算的基本模型。
图1 集中荷载作用下无限长梁变形曲线
2.2 等效荷载反演分析的基本方法
根据文献［22］集中荷载作用下无限长弹性地基梁内力、位移计算式，可以由地基梁某一截面的位移或者转角，反演得到等效荷载。
按照竖向挠曲位移反演时，等效集中荷载P为
式中：k为线弹性地基系数，kN·m-2；
y为集中荷载作用点处计算截面的位移，m；
β为弹性地基梁特征系数，1·m-1；
x为计算截面的距离，m；
k0为弹性地基系数，kN·m-3；
b为隧道横截面宽度，m。
按照截面转角反演时，有如下关系
式中：θ为等代梁上x点截面转角，rad；
M为在x点截面处的等效弯矩，kN·m。
从以上反演分析基本计算式可以看出：式（1）等效集中荷载P的反演结果与计算截面距离x，位移y，线弹性地基系数k和特征系数β这4 个参数有关；
对于隧道变形，理论上如果下挠曲线与无限长梁挠曲线完全一致，就可以采用影响范围内的任何一点进行状态反演，但这实际上是不可能的，因此反演时不妨按隧道最大位移计算，从而确保结果偏于保守；
按照截面转角进行反演计算也有类似问题，实际反演分析表明，按变形曲线平均转角计算相对合理；
k和β的取值可参考文献［22］，但最好提前通过现场试验获得，并在反演时结合隧道场地岩土体特性，按可能的上、下限值分别计算后再考查反演结果的合理性；
反演分析还涉及转角-弯矩关系模型的处理问题，后文将对此进一步讨论。
2.3 实际反演问题及反演方法
2.3.1 实际反演问题分析
实际反演时，将隧道变形曲线沿长度方向进行区段划分，找到与无限长梁变形类似的区段，一般应表现有下挠段和上拱段，按照下挠段的最大挠度或相应变形曲线的平均转角进行反演，从而得到待求的等效集中荷载。实际中，多数情况下隧道结构的挠曲变形并不完全对称，如果直接按式（1）进行反演，不仅不能体现隧道变形曲线曲率的影响，还会产生较大的反演误差，为此，合理利用实测数据进行反演是保证反演结果精准度的关键。
以实测挠曲变形左右不对称的某隧道为例，其变形范围内仅有1 个下挠峰值点H1，若以点H1对应里程与y轴交点为坐标原点O，得到隧道变形曲线如图2 所示。图中：x轴为隧道里程，以原点右侧为正，m；
y轴为隧道轴向变形，取正表示上拱，取负表示下挠，mm；
L1和R1分别为左、右侧最大上拱点；
l1为该下挠段长度，m；
和分别为下挠峰值点H1与左、右侧零位移点的距离，m；
hL1和hR1分别为与其角标对应的左、右侧上拱段的隧道上拱极大值，mm；
h1为隧道下挠峰值点的下挠量，mm；
Py1为根据下挠峰值点H1的y轴值求得的等效荷载，kN。
图2 隧道变形曲线
1）按照第一等效准则反演Py1
对于图2中的变形隧道，不妨取下挠峰值点H1的最大下挠量h1进行反演计算。将其代入式（1），经化简可求得Py1为
这一反演结果还须满足无限长梁模型的适用条件，即隧道结构下挠长度l1≤1.5πL；
如不满足该条件，即当l1＞1.5πL时，再将Py1看作下挠峰值点附近某一范围内的局部均布荷载。此处将这一范围等代取为l1-1.5πL，得到等效均布荷载P平均y1为
2）按照第二等效准则反演Pθ1
在反演图2 中的转角-弯矩关系时，直接采用某一截面转角计算等效荷载的方式并不理想。基于大量实测隧道变形规律，采用挠曲线下挠峰值点、下挠与上拱分界点（零点）间的转角进行反演，结果更符合实际情况。由式（2）和式（3）可知，按照第二等效准则反演时尚需明确转角和弯矩之间的关系，为简化计算，反演时可按照弹性体力学模型和材料力学转角-弯矩公式进行弯矩计算。根据文献［23］，对弹性受弯梁有如下关系
式中：θ1为下挠峰值点H1截面平均转角，rad；
Mθ1为下挠峰值点H1截面弯矩，kN·m；
lθ1为与θ1对应的区段长度，其值等于或，m；
EcI为隧道截面抗弯刚度，N·m2。
将式（2）、式（3）和式（6）联立并进一步化简，可以得到
式中：P平均θ1为根据挠曲线转角反演得到的等效荷载，kN·m-1。
反演时θ1可近似按下挠段峰值点左侧和右侧变形曲线斜率的极大值进行取值后，再代入式（7）进行计算。
式中：为计算转角，rad；
θ1左和θ1右分别为下挠峰值点H1左、右侧截面平均转角，rad。
2.3.2 隧道衬砌结构的受力分析
反演得到等效均布荷载P平均y1或P平均θ1后，即可进一步将此荷载施加于隧道结构体，再反过来研究隧道的力学行为。隧道结构除在竖向产生下挠外，水平方向也可能伴有位移，此时，应分别按以上方法对竖向和水平向进行反演计算，再通过矢量和得到隧道结构体所承受的等效集中荷载合力。
确定等效集中荷载的作用方向时，一般可根据隧道竖向位移l竖向和水平位移l水平按矢量和来合成隧道的合位移l合，合位移与水平线的夹角θ1等效便可作为等效荷载的作用方向，如图3 所示。图中：以水平线逆时针旋转至合位移作用线的方向为正；
以θ1等效与水平线重合时为0°；
l1水平和l1竖向分别为下挠峰值点H1截面的水平向和竖向位移，mm；
l1合为下挠峰值点H1截面水平向与竖向的合位移，mm。
图3 等效集中荷载的作用方向示意图
按上述方法，隧道合位移l1合和等效荷载作用方向θ1等效的计算式分别为
2.3.3 隧道横截面扭矩T的反演计算
隧道在发生水平和竖向平动位移的同时，还常伴有绕截面形心的扭转。对于隧道结构变形后承受的扭矩，根据基本假定（6）可知，计算隧道自由扭转角时，应以2 条沉降缝为界选取基本区段单元，通过计算基本区段单元的最大、最小等效载荷作用方向θmax等效和θmin等效，二者差值θ扭即为这一区段隧道结构产生的扭转角。基于线弹性模型［23］，隧道结构承受的扭矩为
式中：T为同一区段隧道截面承受的扭矩，N·m；
θ扭为同一区段（2 条相邻沉降缝之间）隧道的最大、最小扭转角之差，rad；
It为闭口截面抗扭惯性矩，m；
S为隧道截面中心线围成的面积，m2；
δ为隧道衬砌截面厚度，m；
为隧道基本区段单元长度，m；
θmax等效和θmin等效分别为同一区段（2 条相邻沉降缝之间）隧道的最大、最小扭转角，rad。
以实测隧道变形为依据进行反演，弹性地基梁-隧道变形曲线反演分析法计算流程如图4所示，主要步骤如下。
图4 反演分析法计算流程图
步骤1：根据隧道病害段的竖向、水平变形曲线分别搜索峰值沉降点，确定各自峰值点至左、右两侧下挠与上拱分界点（零点）的长度。
步骤2：确定隧道竖向、水平变形曲线的峰值下挠量h1和计算转角"，分别计算竖向、水平2个方向的等效荷载（Py1或P平均y1）和P平均θ1的值。
步骤3：对竖向、水平方向等效荷载求矢量和得到P合；
将P合按合力方向作用于隧道衬砌截面，并进行力学分析。
步骤4：根据隧道实际沉降缝分布，在图2 形式的变形曲线上选定基本区段单元，计算隧道承受的扭矩T。
步骤5：验证隧道变形及开裂位置，计算结束。
4.1 工程概况
某病害隧道与其穿过的A、B 两煤矿采空区位置关系见图5。隧址区地层岩性以泥灰岩为主，且岩层破碎。隧道衬砌采用C30混凝土，拱顶混凝土厚度为0.83 m，弹性模量Ec=31.5×109N·m-2，剪切模量G=0.4Ec。隧道衬砌结构断面如图6。图中：红色数字表示里程，m。
图5 隧道与采空区位置关系
图6 隧道衬砌截面（单位：m）
该隧道衬砌混凝土产生水平（平行隧道轴线方向）、竖向（环向）裂缝，同时伴有起皮鼓出，仰拱发生上拱变形等病害。为探明上拱原因，曾在上拱位置钻孔，未见承压水。截至2019 年隧道病害段长度达612 m。究其原因，应该是隧道穿过煤矿采空区，受下伏煤层深部采动影响而在采空区位置出现下挠变形、在远离区段伴随产生上拱病害。实测隧道内线路高程检测结果如图7。
根据图7 可知，隧道在穿越采空区的局部区段轴向变形曲线呈现中间下挠、两侧上拱的变形特征，与前文所建弹性地基梁模型的变形规律相似，故可以采用提出的反演分析法进行力学状态分析。
图7 实测竖向变形曲线
4.2 基于实测变形曲线的隧道受力状态反演分析
1）反演分析参数
由图6 可知，反演分析中隧道衬砌截面高度为12.64 m，宽度为14.96 m；
隧道截面对形心水平X-X轴的惯性矩为690.967 775 273 975 m4；
隧道截面对形心竖向Y-Y轴的惯性矩为891.464 066 937 95 m4；
隧道衬砌截面中心曲线周长l中心曲线=41.981 789 3 m，衬砌截面面积S=136.129 510 935 1 m2。依据文献［22］，软片岩、软石灰岩和破碎砂岩的弹性地基系数取0.2～0.3 GN·m-3，实际中弹性地基系数k0取0.25 GN·m-3。
2）无限长梁模型适用性分析
以竖向变形曲线为例，将隧道结构参数及地基系数k0代入文献［22］特征长度计算式，可求得此时隧道沿轴线竖向变形的特征长度L=12.35 m。由图7可知，等效集中荷载作用点到隧道梁端的距离远大于3L=37.05 m，可按无限长梁模型分析。
3）反演计算参数的选取
按文中建立的2 种反演准则，分别以峰值下挠点及其两侧上拱起点间的连线斜率进行反演分析，并对比反演结果，考查反演结果的合理性。按照反演准则，需要在隧道实测变形曲线的下挠和上拱段选取反演参数，此处将最大下挠点作为分界点，分别考查其左右侧的隧道变形，并取较大者进行研讨。依据该隧道实测变形数据，选取隧道反演计算参数见表1。
表1 隧道反演计算参数取值
4）反演结果分析
该隧道局部下挠段长度l1=574 m，远大于无限长梁模型的下挠长度1.5πL=58.16 m，因此第一等效准则等效荷载可按该区段的平均值取值。依据表1 数据，分别按照2 种准则反演，得到的结果见表2。
表2 竖向和水平分别根据第一、第二等效准则反演得到的结果
由表2 可知，按照2 种准则反演得到的等效荷载P平均y1与P平均θ1存在一定偏差，竖向、水平方向也未呈现出明显的规律性。其原因主要在于隧道结构变形曲线与反演采用的无限长梁模型变形存在显著差别所致，第一等效准则中，采用局部最大下挠峰值反演等效荷载是一种偏于保守的处理方法，属于弱相关的反演，且反演约束条件宽松，可以通过多点反演和修正隧道变形曲线等方法进行改进，具体仍值得进一步研究。第二等效准则由于引入的是区段斜率修正法，实际则更具有代表性，一般与实际结果应更为接近。
为进一步比较无限长梁模型和实测总体变形的一致性，按无限长梁模型计算理论上拱段长度，并以局部下挠峰值点为界，分别与实测两侧上拱段长度进行对比，结果见表3。由表3 可知：左侧（远离隧道口侧）竖向实测上拱段长度与理论计算长度差值最小，为1.21 m，等效分析误差率仅为3%；
水平方向的变形在左侧侧拱较明显，在右侧（靠近隧道口侧）侧拱变形不明显；
隧道变形呈现有下挠的同时伴随有上拱，尤其左侧上拱段长度和无限长梁模型结果较接近，从侧面说明本文模型具有一定合理性，但是二者结果受复杂的非线性相互作用关系影响，采用弹性模拟时不可避免地存在一定误差。
表3 隧道实测上拱段长度和理论上拱段长度对比
5）隧道截面等效荷载及其作用方向
按表2 偏安全地对平均等效荷载取值为：竖向P平均θ1=9 312.17 kN·m-1，水平P平均y1=5 929.33 kN·m-1，该截面所受等效荷载的合力按矢量运算法则叠加，得到P合=11 039.63 kN·m-1，由此进一步得到等效荷载合力的方向角θ1等效=57.5°。
4.3 基于弹性地基梁模型反演结果的隧道变形及开裂位置验证
以仿真模拟的形式，将反演等效荷载施加于隧道结构，进一步考查隧道衬砌受力状态，并结合实际隧道结构的开裂情况进行分析。
为简化分析，将隧道衬砌横截面近似看成一封闭曲梁，忽略周围岩土体的影响，仅考虑等效荷载合力P合作用，采用有限元软件ANSYS 进行模拟计算，得到在轴力和弯矩内力组合下隧道衬砌混凝土内侧边缘处产生的最大拉应力分布如图8 所示。图中：取拉应力为正、压应力为负。由图8 可知：应力较大位置沿隧道横截面大致呈“X”型分布；
等效荷载合力作用线在采空区方向的仰拱与拱墙结合处附近应力集中明显，是最先开裂区域，裂缝方向应垂直于主拉应力方向；
此时衬砌混凝土边缘最大拉应力已远超混凝土抗拉强度，导致混凝土因开裂而退出工作，拉应力将由受力钢筋承担。
图8 隧道衬砌截面应力分布（单位：MPa）
因图8 是按完全弹性模型进行建模计算的，没有考虑非线性因素以及混凝土开裂之后的应力重分布，所以最终应力值仅作为定性分析衬砌截面混凝土的理论开裂位置，还需与实测裂缝分布进行对比，以验证本文反演分析等效荷载的合理性。
根据现场检测，隧道局部实际开裂位置如图9所示。图中：①号和②号裂缝均为沿顺隧道轴线方向的水平裂缝，其中①号裂缝位于侧墙高度中间，裂缝长度约4 m，②号裂缝分布在仰拱与侧墙交接处的线缆沟边墙位置，裂缝长度约2 m；
③号为垂直隧道轴线的环向裂缝，自拱墙底向上延伸高度约6 m。由图8 应力分布可知，图9 中隧道实际开裂位置均位于反演计算应力最大值附近，按本文反演方法得到的等效荷载方位也与实际因采空区所产生的附加力作用方位具有高度一致性。
图9 采空区一侧隧道裂缝分布示意图
营运隧道受滑坡、塌陷、采空区等岩（土）体变化影响，经常会出现局部变形、开裂、错位等严重病害，仅按横向截面进行验算，不能完全反映其纵向局部受力特征。实际工程中虽可更容易地监测到隧道位移变化情况，但是其变形后局部受力大小不好直接确定。本文基于弹性地基梁理论，利用实测变形进行隧道结构受力状态反演，提出了1种基于实测峰值位移和平均弯曲转角求解隧道附加等效荷载的简化方法，能够以反演分析的形式综合考虑隧道结构竖向、水平2 个方向所受附加力，进行隧道截面力学状态及变形、开裂状态分析。依托某穿过两煤矿采空区的病害隧道工程实例，进一步验证了提出方法的合理性，说明该方法可指导实践，作为1种快速评判隧道结构并合理选择加固措施的分析新思路。
工程实例表明：提出的反演分析方法可在理论上揭示隧道“中间下挠、两端上拱”的变形特征成因；
在计算隧道远离洞口侧理论上拱段长度时表现出较高的精度，等效分析误差率仅为3%；
将得到的反演平均等效荷载作用于隧道衬砌横截面进行计算，发现其与隧道实测开裂区具有高度一致性。然而，反演方法属于宽松约束条件，隧道结构的实际变形曲线与无限长梁模型间存在差异，隧道结构开裂后会出现复杂的非线性特征，隧道与周边岩土体又存在复杂力学关系，这些都会造成反演结果与实际情况存在一定误差。但由于反演基于弹性体以及选取的最大下挠量或最大平均转角，可以保证反演结果偏于保守。
工程实例也表明，相关反演条件补充手段仍值得继续研究，如采取多点反演对等效荷载进行修正，或对隧道结构变形曲线进行归一化处理等。今后可通过更多工程案例反演，积累分析数据和分析结果，完善等效荷载及等效荷载分布长度概念，从而修正简化模型，提高反演计算精度，扩展提出方法的应用范围。
本文研究时仅针对下伏煤矿采空区隧道的1 种工况。而不良地质现象种类、隧道埋深、围岩环境、隧道穿过不良地质体的角度以及二者空间位置关系等均是影响隧道变形的重要因素，文中尚未深入涉及，后续研究时可针对上述问题进一步展开。
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