【www.zhangdahai.com--企业公文范文】
东北石油大学 数学科学与技术学院，黑龙江 大庆163318 【摘要】线性代数是大学本科教学中一门重要的数学基础课，通过本课程学习可以有效培养学生的抽象思维能力，为后继课程学习打下扎实的基础。在多年的教学实践中，不断调整教学模式，摸索出一套运用科学思维方法指导而设计的线性代数教学方法，即通过实际问题激发学生学习线性代数的兴趣；通过贯穿实例于教学中来引导学生归纳数学理论；通过调整教材中的授课内容，引导学生逐步深入学习，并学会多角度思考问题。实践教学证明，这套教学方法切实可行，教学效果显著。�
【关键词】线性代数科学思维方法教学方法
Linear Algebra Teaching Design Based on Scientific Thinking Method
�KONG Ling-binHU Jin-yan�
【Abstract】Linear algebra is an important mathematics fundamental course in the teaching of university undergraduate course. It can train and develop students" abstract thinking ability effectively through learning this course. Further more, it can help students to learn other courses preferably in the future. A set of teaching method based on scientific thinking method was developed through constantly adjust teaching mode. I.e. students" interests of learning linear algebra were stimulated by running practical problems through teaching processing. Further more, guide students to summarize mathematical theories based on practical problems, and guide students to learn linear algebra in depth step by step through adjust learning content. It was proved feasible through teaching practice, and the effect of teaching is remarkable.�
【Keywords】Linear Algebra, Scientific Thinking Method, Teaching Method.
线性代数是大学本科教学中一门重要的基础课，即可以有效的培养学生的抽象思维能力，又是后续学习专业课的基础。近年来，在线性代数教学过程中不断总结以往的教学经验，结合社会需求，并积极和国内其它高校沟通交流，在实践中摸索出一套运用科学思维方法指导而设计的教学方法。在教学实践中，适当调整了教材中教学内容的次序，设计了结构新颖的例题，以达到通俗易懂，循序渐近的教学效果。
�线性代数课程教学的中心内容是线性方程组求解，中心方法是矩阵的初等行变换，中心定理是解的存在性和解的结构定理。在教学中，紧紧围绕这三个中心，充分发挥学生的主体作用，引导学生发现问题、启发学生分析问题、协助学生解决问题，进而让学生自己提炼出解决问题所用方法的共性与精髓，即线性代数的基本概念、基本理论、基本方法，最终使学生对线性代数这门课的知识体系达到融会贯通的效果。
�1.教学方法设计
�1.1利用绪论课激发学生学习线性代数的兴趣
�
绪论课，是要让学习者认识到相应课程的课程性质、课程发展、教学要求、学习方法以及该课程的教学地位，因此，绪论课对任何一门课程的教学，都是非常重要的，线性代数也不例外。结合多年的教学历程和经验，对绪论课做了充分准备，以此激发学生学习线性代数这门课程的兴趣，并让学生充分认识到学习线性代数的重要性。
�在绪论课上，设计了若干问题，让学生通过逐步解决这些问题初步了解线性代数课程的主要内容、相关的应用，以及学习这门课程的意义。第一个问题如下：手握100颗黄豆，将它们抛到一个水平面上，能找到一条99次多项式曲线插值这100颗黄豆吗？学生通过可行性和解决方案的讨论，认识到这个问题最终归结为建立线性方程组和求解该方程组。第二个问题，现实生活中除了将黄豆抛到水平面上去找插值曲线，还会遇到哪些需要建立线性方程组解决的问题呢？学生们都积极思考，踊跃回答，课堂气氛非常活跃。第三个问题，问学生如何对黄豆问题所建立的方程组进行求解？学生们自然会回答消元法。但是让他们把含有100个变量、100个方程的线性方程组利用消元法解出来时，学生会发现利用消元法求解这个方程组运算量太大了，都泄了气。
�对于这样的方程组，有的学生会说可以利用计算机求解，那么又产生了新问题：如何让计算机求解？计算机如何认识这个线性方程组？输入给计算机的是什么？通过这一系列问题的分析和解答，使学生认识到了学习线性代数知识的重要性，认识到学好线性代数课程的目的是掌握这个数学工具，让它为后继课程服务，为未来的科学研究和实际应用服务。强调线性代数学习的重点是掌握它的基本概念、基本理论和基本方法，并练就针对简单问题的计算能力。对于将来科学研究中遇到的比较复杂的计算，可以在基本理论和方法指导下，运用计算机去解决。通过这一堂课的热烈讨论和交流，使学生了解了线性代数问题在我们身边随处可见，同时也使学生对线性代数课程的学习充满了浓厚的兴趣，打消了学生对于线性代数课程学习的疑虑和畏难情绪。
�1.2适当调整授课内容，引导学生总结教学重点
�既然线性代数教学的中心内容是线性方程组求解，中心方法是矩阵的初等行变换，那么教学中就应该突出这部分内容。因此在课程的教学中紧紧围绕这两个中心展开，并积极引导学生归纳总结出两个中心定理。
�在线性代数教材��［１］�中，第一章是行列式。在实际教学中改变了教材的内容结构，把行列式作为矩阵理论的一个工具放到后面讲，这样就有效地避开了因为复杂行列式的计算而容易使学生失去学习线性代数这门课兴趣的教学模式。在上完绪论课后，首先进行矩阵初等行变换的学习。具体做法是与学生一起利用高斯消元法求解一个线性方程组，当学生一步一步算下来后，让他们总结计算过程中哪些量是不必要写出的，必须留下的量是什么？学生在思考和总结中，自然得到了线性方程组与一张数表一一对应，这张数表就是需要我们高度重视的工具-矩阵。进而再引导学生从方程组的等价变换来定义矩阵的初等行变换。利用矩阵的初等行变换重新看线性方程组求解，在求解中总结矩阵的初等行变换将矩阵变换到什么形式时意味着消元法结束、什么形式时意味着回代过程结束，从而顺势引出矩阵的行阶梯型和行最简形的定义。接下来，让学生总结求解线性方程组消元法的变形-矩阵的初等行变换法，并且通过解题引导学生发现行阶梯型的模样与方程组是否有解的关系，为线性方程组解的存在性这个中心定理的理解做了铺垫。当学习线性方程组解的存在性定理时，重点放在结论的理解与应用上，而忽略复杂的证明。具体做法是在算矩阵A与（A，b)的秩时，总结它们秩的大小与对应线性方程组Ax=b解的存在性关系，自然得出结论。
�〖ＨＴＦ〗1.3在教学中避难求简，启发学生多角度思考问题
�线性代数这门课程的高度抽象性也是导致学生学习困难的原因。在教学实践中尽量避免单纯理论推导，尽可能在解决问题中寻找共性，总结方法。
在讲解线性代数课程的难点“初等矩阵在乘法中的作用”时，采用的方法是让学生深刻理解这种作用而不是推导公式。首先给学生一些题目，让他们体会这类特殊矩阵在具体计算中的作用，然后让学生自己总结出三类初等阵在乘法中的作用，并分析得出利用初等行变换求方阵的逆矩阵和解特殊矩阵方程的方法。
�在讲解“向量组的线性相关性”这个难点时，借助三维几何直观，举例讨论两个三维向量共线的充要条件和三个三维向量共面的充要条件。并引导学生得出结论：几何上共线共面的向量在代数中向量运算上的共性是存在不全为零的数，使得这些向量的线性组合为零向量，从而引导学生自己给出一般向量组线性相关性的定义。
�在讲解“向量组的最大无关组”时，一方面用“多一则多、缺一则少”来刻画最大无关组，另一方面还借助“一个非零向量张成直线，两个不共线向量张成平面，三个不共面向量张成三维空间”等几何直观多方面加强学生对这个概念的理解，并进一步消化吸收。
�工科线性代数教材中对施密特正交化方法只给出了公式，学生在背公式时总会感到些许困惑，为什么要这样做？在讲解这个知识点时，首先分析正交化实质，根据已知的线性无关向量组去找与其等价的正交向量组，寻找方法不唯一，结果自然也不唯一。但最简单的方法是逐步构造法，即施密特正交化方法。接下来分析施密特正交化的思想过程��［2１］�，欲构造与已知向量组a�1,a�2,Λ,a�k等价的正交向量组，也就是该向量组和正交向量组可以相互线性表示，可以令b�1=λ�1a�1+λ�2a�2+Λ+λ�ka�k，那么在众多的表示式中取哪个最简单？大部分学生会回答，取b�1=a�1。接下来我们要问b�2=a�2也很简单，但是满足与b�1正交吗？答案当然是不满足。由于不满足，要找即简单又满足与b�1正交的b�2，令b�2=a�2+λ�1b�1，由［b�2,b�1］=0得λ�1=-〖SX(〗［a�2,b�1］〖〗［b�1，b�1］〖SX)〗。同样道理，依次构造下去，由b�k=a�k+λ�1b�1+λ�2b�2+Λ+λ��k-1�b��k-1�与b�1,b�2,Λ,b��k-1�均正交，得到系数λ�1=-〖SX(〗［a�k,b�i］〖〗［b�i，b�i］〖SX)〗。这样在寻求简单的构造中，得出了施密特正交化的公式，消化了这个难点。
�线性方程组的基础解系不唯一，如果要求正交的基础解系，通常做法是求出一组基础解系后，再利用施密特方法正交化。在这类例题计算时，启发学生解决问题的方法具有多样性。利用施密特正交化固然是好办法，还可以采用待定法去算出正交的基础解系。例如，如果要求 的正交的基础解系，可以先随意取一个非零解，比如a�1=(1,-1,0)�T，另一个用待定法设为a�2=(a,b,c)�T则代入方程得a+b+c=0，且由a�1与a�2正交得a-b=0，于是b=a,c=-2a，因而可取a�2=(1,1,-2)�T。
�1.4 穿插实际问题于抽象理论，引导学生寻找规律
�过多的抽象性理论研究，必然会让部分同学望而生畏。在教学中采取穿插部分有趣的实例来打消学生的畏难情绪。在线性方程组求解的计算中引入减肥食谱制定、交通流量计算等实例��［3］�，在解决这些问题时，学生兴趣浓厚，不知不觉就消化了新学到的方法。在讲方阵对角化时，首先通过实例让学生认识到计算矩阵的高次方幂��［4］�是经常遇到的问题，但是一般方阵的高次方幂难算，那么如何解决这类问题？然后再让学生自己动手计算对角阵的方幂，并分析计算对角阵的方幂和一般方阵的方幂的难易程度。这样很容易就会引导学生发现对角阵的方幂容易计算，自然也就会思考能否把方阵转化为对角阵。接下来就可以和学生一起讨论和分析如何把普通方阵转化为对角阵，以及什么样的方阵能转化为对角阵？在讲二次型前，先引入判断曲线曲面形状的几何问题，引导学生们分析，如果化成标准方程就容易判断形状，从而得出二次型及标准形定义，及二次型研究的中心问题-化标准形。
�教学不仅仅要传授知识，更要培养学生独自解决问题的能力。简单的传授知识容易，而培养学生独自解决问题的能力较难。因此在线性代数教学实践中，要持之以恒的探索总结更好的科学的教学方法。
�参考文献�
［1］同济大学数学系编著，线性代数（第五版）［M］. 2007，北京：高等教育出版社.�
［2］北京大学数学系编著，高等代数（第二版）［M］. 1988，北京：高等教育出版社.�
［3］Steven J.Leon著，线性代数［M］. 2007，北京：机械工业出版社.�
［4］David C.Lay著，线性代数及其应用［M］. 2007，北京：人民邮电出版社.�
